Rompecabezas | Colores mínimos requeridos para colorear un tablero de ajedrez sin dos pares dados amenazándose entre sí

Rompecabezas:

Para cada una de las siguientes piezas de ajedrez, encuentre el número mínimo de colores necesarios para colorear un tablero de ajedrez N x N , de modo que ninguna pareja colocada en dos casillas del mismo color pueda amenazar entre sí:

1. El caballero
2. El obispo
3. El rey
4. la torre

Solución:

1. El caballo en un tablero de ajedrez amenaza cualquier casilla que tenga dos casillas en horizontal y una en vertical, o dos casillas en vertical y una en horizontal desde la casilla que ocupa.
   

   Como se muestra en la figura, en el tablero de ajedrez estándar, un caballo en un cuadro blanco solo puede atacar un cuadro negro y viceversa. Por tanto, para el caballo, el número mínimo de colores es 2 para N > 2 . Es 1 para N = 2 , ya que dos caballos no pueden amenazarse entre sí en un tablero tan pequeño.

2. El alfil es el que amenaza cualquier casilla que esté en la misma diagonal. Ahora, dado que hay N cuadrados en la diagonal principal, se requieren al menos N colores para colorear los cuadrados de la diagonal para que ningún alfil en la diagonal se amenace entre sí. Para extender este colorido a todo el tablero, podemos colorear las columnas o la fila, con el mismo color, que su cuadrado que se encuentra en la diagonal principal. De esta forma, todas las diagonales tendrán casillas de diferente color, por lo que dos alfiles que se encuentran en dos casillas del mismo color no se amenazarán entre sí.
   
   
3. Todas las casillas que están horizontal, vertical o diagonalmente adyacentes a la casilla del rey, están amenazadas por ella. Considere un tablero de ajedrez de 2 x 2 , con un rey en su esquina inferior izquierda. Dado que tal rey amenazaría todas las casillas restantes del tablero. Por lo tanto, se necesitarán 4 colores para colorear un tablero de 2 x 2 . Para colorear un tablero de ajedrez N x N , podemos considerarlo como tableros de 2 x 2 , y colorear cada tablero de 2 x 2 con el mismo esquema de color asegurará que no haya dos reyes en las casillas del mismo color que se amenacen entre sí. Por lo tanto, el número de colores para el rey es 4 .
   
   
   
   
4. Una torre amenaza cada casilla que se encuentra en la misma fila o columna, en el tablero de ajedrez. Para asegurarse de que una torre no amenace a nadie en su fila o columna, se requieren N colores. Además, N colores son suficientes para colorear todo el tablero, utilizando un esquema de coloración simple. Colorea la primera fila con N colores diferentes. Para colorear cada fila subsiguiente, cambie circularmente los colores una posición, a la izquierda o a la derecha, de modo que ninguna fila contenga el mismo color dos veces.