Rompecabezas | (Tiros de baloncesto)

Tienes un aro de baloncesto y alguien dice que puedes jugar uno de dos juegos.
Juego 1: Tienes una oportunidad para hacer el aro.
Juego 2: obtienes tres tiros y tienes que hacer dos de tres tiros.
Si p es la probabilidad de hacer un tiro en particular, ¿para qué valores de p debería elegir un juego u otro?

Responder:

Probabilidad de ganar el Juego 1:
La probabilidad de ganar el juego 1 es p, por definición.

Probabilidad de ganar el Juego 2:
Sea s(k, n) la probabilidad de hacer exactamente k tiros de n. La probabilidad de ganar el Juego 2 es la probabilidad de hacer exactamente dos tiros de tres O hacer los tres tiros. En otras palabras:

P(ganador) = s(2, 3) + s(3, 3)

La probabilidad de hacer los tres tiros es:

s(3, 3) = 

La probabilidad de acertar exactamente dos tiros es:
P(acertar 1 y 2, y fallar 3) + P(acertar 1 y 3, y fallar 2) + P(acertar 2 y 3, y fallar 1)

   = [p * p * (1-p)] + [p * (1-p) * p] + [(1-p) * p * p]
   = 3*(1-p)*

Sumando estos juntos, obtenemos:

   =  + 3(1-p)
   =  + 3 - 3
   = 3 - 2

¿Qué juego deberías jugar?
Deberías jugar el Juego 1 si P (Juego 1) > P (Juego 2):

    p > 3 - 2
    1 > 3p - 2
    2 - 3p + 1 > 0
    (2p - 1)(p - 1) > 0

Ambos términos deben ser positivos, o ambos deben ser negativos, pero sabemos que p < 1, entonces p – 1 < 0. Esto significa que ambos términos deben ser negativos.

    2p - 1 < 0
    2p < 1
    p < 0.5

Entonces, deberíamos jugar el Juego 1 si 0 < p < 0.5 y el Juego 2 si 0.5 < p < 1.
Si p = 0, 0.5 o 1 entonces P(Juego 1) = P(Juego 2), entonces no importa qué juego juguemos.

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