Una recta perpendicular se define como una recta que pasa por un punto de otra recta formando un ángulo de 90º con la recta original. La pendiente de la recta perpendicular es el negativo del recíproco de la pendiente de la recta original. Hay dos propiedades básicas con respecto a las líneas perpendiculares que derivan las fórmulas relacionadas con las líneas perpendiculares. Echemos un vistazo a ellos,
fórmula de línea perpendicular
Hay propiedades definidas para las rectas perpendiculares. A continuación se muestran dos propiedades, son el producto de la pendiente y la ecuación de la línea perpendicular.
- El producto de la pendiente de una recta perpendicular con la pendiente de la recta original siempre es -1 .
Prueba:
Permite que la línea original forme un ángulo de θ con el eje X. Entonces, la línea perpendicular a la línea formará un ángulo de θ + 90° o θ – 90° con el eje X.
Entonces, la pendiente de la recta original es igual a tanθ.
La pendiente de la línea perpendicular es igual a tan(θ + 90 o ) o tan(θ – 90 o ).
Por tanto, la pendiente de la recta perpendicular es -cotθ.
El producto de las pendientes = tanθ × (-cotθ) = -1
Por lo tanto, el producto de las pendientes siempre es igual a -1.
2. Si la ecuación de la línea original es ax + by + c = 0 , entonces la ecuación de su línea perpendicular es – bx + ay + d = 0 , donde d es una constante.
Prueba:
La ecuación de la recta original es ax + by + c = 0
La pendiente de la recta original es -a/b .
Supongamos que la pendiente de la recta perpendicular es m
Como el producto de las pendientes es -1, podemos escribir,
m × (-a/b) = – 1
m = segundo / un
Entonces, si la recta perpendicular pasa por un punto (x 1 , y 1 ),
(y – y 1 ) / (x – x 1 ) = segundo / un
y – y 1 = (b / a) × (x – x 1 )
ay – ay 1 = bx – bx 1
– bx + ay + (bx 1 – ay 1 ) = 0
Sea bx 1 – ay 1 = d, donde d es una constante.
Por lo tanto, la ecuación queda como,
– bx + ay + d = 0
Problemas de muestra
Pregunta 1: ¿Las rectas 3x + 2y + 5 = 0 y 2x – 3y + 8 = 0 son perpendiculares?
Solución:
La pendiente de la recta 3x + 2y + 5 = 0 es – 3/2.
La pendiente de la recta 2x – 3y + 8 = 0 es -2 / (-3) = 2 / 3
Así, el producto de las pendientes es: (- 3/2) × (2/3) = -1
Como el producto de las pendientes es -1, las rectas son perpendiculares.
Pregunta 2: Encuentra la recta perpendicular a la recta x + 2y + 5 = 0 y que pasa por el punto (2, 5).
Solución:
De la propiedad 2, obtenemos que la ecuación de una recta perpendicular a la recta ax + by + c = 0 es – bx + ay + d = 0.
Comparando la recta x + 2y + 5 = 0 con ax + by + c = 0,
- un = 1
- segundo = 2
- c = 5
Así, la ecuación de cualquier recta perpendicular a esta recta es – 2x + y + d = 0 , donde d es una constante.
Dado, esta recta pasa por (2, 5), poniendo así (2, 5) en esta ecuación de la recta perpendicular,
-2 × 2 + 5 + d = 0
- d = -1
Por lo tanto, la ecuación de la línea perpendicular queda como -2x + y – 1 = 0
Pregunta 3: Encuentra la pendiente de la línea perpendicular a la línea 3x + 9y + 7 = 0.
Solución:
Dada, la ecuación de la línea es 3x + 9y + 7 = 0.
Entonces, la pendiente de esta línea es – 3/9 = – 1/3.
Sea m la pendiente de la recta perpendicular.
De la propiedad 1, podemos escribir,
m × (- 1 / 3) = – 1
metro = 3
Por tanto, la pendiente de la recta perpendicular a la recta dada es 3.
Pregunta 4: Encuentra el ángulo de una línea perpendicular a la línea x + y + 3 = 0 con el eje X en el rango [0, 90°].
Solución:
Pendiente de la recta dada = – 1 / 1 = – 1
Sea m la pendiente de su recta perpendicular.
Entonces, de la propiedad 1, podemos escribir,
m × -1 = – 1
metro = 1
Entonces, si el ángulo de la línea perpendicular a la línea dada es θ, entonces podemos escribir la pendiente como
tanθ = 1
θ = bronceado -1 (1) = 45°
Por lo tanto, el ángulo que forma la línea perpendicular con el eje X es de 45°.