¿Qué es la transformada Z?

Una transformada z es importante para analizar señales y sistemas discretos. Conocemos señales analógicas o señales que son continuas en el dominio del tiempo. Pero la comunicación y el sistema de hoy en día se basan en el procesamiento digital. Esto nos obliga a cambiar nuestras señales analógicas al dominio digital. El primer paso para hacer esto es muestrear la señal analógica a una velocidad superior a un umbral (conocida como frecuencia de muestreo de Nyquist) como una secuencia discreta de puntos. Estos puntos están discretizados en el tiempo. Cada muestra ocurre en t=nT _s , donde T _s es el tiempo de muestreo.

Después del muestreo, necesitamos cuantificar estas muestras a uno de M niveles dados y luego codificar las muestras cuantificadas en binario para su posterior almacenamiento, análisis o transmisión.

Las transformadas z son particularmente útiles para analizar la señal discretizada en el tiempo. Por lo tanto, se nos da una secuencia de números en el dominio del tiempo. La transformada z lleva estas secuencias al dominio de la frecuencia (o el dominio z), donde podemos verificar su estabilidad, respuesta de frecuencia, etc. Por lo tanto, tomar las transformadas z es análogo a tomar las transformadas de Laplace para señales continuas.

Definición:

Supongamos que tenemos una secuencia dada a nosotros de la siguiente manera:

$y[n] = {y0, y1, y2, ..... }$

Aquí, cada punto de la secuencia es una muestra de una señal analógica.

La transformada z de esta secuencia se define como:

$y[z]= y_{0} + y_{1}z^{-1} + y_{2}z^{-2} + ........ = \sum_{\infty }^{n=0}y_{n}z^{-n}$

La serie infinita debe converger para que Y(z) se defina como una función precisa de z.

Una transformada z es lo mismo que una transformada de Laplace, donde s es simplemente una variable compleja, aquí z es nuevamente una variable compleja y, a diferencia de n, es continua. Sin embargo, la transformada z no converge para todas las sucesiones ni para todos los valores de z. El conjunto de valores de z para los que converge la transformada z se denomina región de convergencia (ROC).

Ahora, veremos algunas transformaciones de señales populares.

Impulso unitario

Esta es una secuencia simple pero importante definida como:

$\delta_{n} = \begin{cases} & \text{ 1 } n = 0\\ & \text{ 0 } n = \pm 1,\pm 2,....... \end{cases}$