En la vida cotidiana, vemos muchas formas diferentes, como una mesa de estudio de forma rectangular o cuadrada, una botella de agua es cilíndrica, el globo terráqueo es una esfera, el reloj es circular, etc. Para estudiar estas formas, tamaños, ángulos y Se requiere una rama de las matemáticas, y esa rama es la geometría.
triangulo Dorado
No es el triángulo que tiene color dorado como sugiere el nombre. Antes de sumergirnos en esto, entendamos primero la proporción áurea.
Proporción áurea
Es el número que se utiliza para indicar la relación de distancias en geometría. Se denota por ‘phi’ o φ. Dos dimensiones representan una proporción áurea, si la proporción de estas 2 dimensiones es igual a la proporción de la suma de estas dimensiones por la mayor de estas dos dimensiones. En otras palabras,
(a + b)/a = a/b = φ, donde a > b > 0
Hablando de φ,
φ es un número irracional y es una solución de la ecuación cuadrática x 2 − x − 1 = 0,
Valor de φ = 5√2 + 1 = 1,6180339887… = aprox. 1,62
Ahora, comprendamos el concepto del triángulo dorado.
El triángulo áureo es un triángulo isósceles en el que la proporción de a y b de la figura anterior, en otras palabras, la proporción de la hipotenusa y la base es igual a la proporción áurea.
a/b = phi o φ.
También se le conoce como el triángulo sublime .
Entonces, el ángulo del vértice es igual a,
θ = sen -1 (b ⁄ (2 × a))
θ = 2 × sen -1 (1 ⁄ (2 × φ))
θ =1 ⁄ (5 × π) = 36°
Entonces, la altura (sea h) y la base (sea b) de este triángulo se relacionan como,
4 × h 2 = segundo 2 × (5 + 2√5)
Encontrar dos cantidades con una propiedad de proporción áurea
Vamos paso a paso-
Paso 1: Primero crea un triángulo isósceles con ángulos interiores de 72°, 36 ° y 72 °.
Paso 2 Biseca uno de los ángulos de 72°.
Paso 3 Ahora resuelve el valor del ángulo α.
En ΔABD,
36°+ 36° + α = 180°
72° + α = 180°
α = 108°
Valor de α = 108°
Paso 4 Ahora resuelve el valor del ángulo β.
En ΔACD,
36°+ 72° + β = 180°
108° + β = 180°
β = 72°
Valor de β = 72°
Paso 5 Ahora ΔABC y ΔDAC son triángulos semejantes porque sus ángulos son iguales.
Por tanto, por la propiedad de los triángulos semejantes,
BC ⁄ AC = AD ⁄ DC ⇢ eq (1)
Pero el triángulo ABD también es isósceles, por lo tanto, BD = AD, y ΔADC también es isósceles, entonces, AD = AC,
Así, BD = AD = AC ⇢ eq (2)
De la ecuación (1) y la ecuación (2):
BC ⁄ BD = BD ⁄ DC
El punto D divide la línea BC en una proporción áurea, comparemos
BC ⁄ BD = BD ⁄ DC es lo mismo que (a + b) ⁄ a = a ⁄ b, es decir, proporción áurea.
gnomon dorado
En la figura anterior, hay dos tipos de triángulos,
1. ΔABD: los ángulos están en proporción 1:1:3
2. ΔADC: los ángulos tienen una proporción de 2:2:1.
Ahora, el triángulo que tiene ángulos en proporción 2:2:1 se llama triángulo dorado. Por otro lado, el triángulo que tiene ángulos en proporción 1:1:3 se llama gnomon de oro .
Gnomon áureo : es un triángulo isósceles obtuso que tiene una relación entre la longitud de los lados iguales (más cortos) y la longitud del tercer lado que es el recíproco de la proporción áurea.
Relación entre los triángulos áureos y el Pentágono de Pitágoras
En la figura de arriba, el pentágono está lleno de triángulos dorados (color verde) y gnomon dorado (color gris). Encontremos la razón del pentágono interior (color verde oscuro en la figura de abajo) al área de la figura completa.
a ⁄ b = ϕ (proporción áurea) y b ⁄ c = ϕ, por lo que a ⁄ c = ϕ 2 .
Como ambas son figuras similares,
Por lo que se puede concluir,
Área del pentágono interior (color verde oscuro) = 1 ⁄ ϕ 4 × (toda el área del pentágono).
Aplicaciones del Triángulo Dorado
Ahora, después de comprender el triángulo dorado, uno debe estar pensando en cómo se usa en la vida real, así que profundicemos en sus aplicaciones.
- En Arquitectura: Se utiliza para determinar las dimensiones de los diseños.
- Espiral logarítmica: Los triángulos dorados se utilizan para formar algunos puntos de la espiral logarítmica.
- Tiene muchas otras aplicaciones en pinturas, presentaciones, fotografías.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Compruebe si el triángulo ABC es un triángulo dorado o no donde el ángulo A = 68 °, B = 41 ° , C = 71 °.
Solución:
No.
Explicación:
Al observar cuidadosamente,
El triángulo ABC no es un triángulo isósceles ya que no hay dos ángulos iguales. Entonces, no puede ser un triángulo dorado, ya que para ser un triángulo dorado, la condición obligatoria es ser isósceles primero.
Pregunta 2: Comprueba si el triángulo ABC es un triángulo dorado o no donde el lado AB = 208 cm, B = 203 cm, C = 145 cm.
Solución:
No.
Explicación:
Al observar cuidadosamente,
El triángulo ABC no es un triángulo isósceles ya que no hay dos lados iguales. Entonces, no puede ser un triángulo dorado, ya que para ser un triángulo dorado, la condición obligatoria es ser isósceles primero.
Pregunta 3: Comprueba si dos lados del triángulo están en proporción áurea o no AB = 61,77, BC = 38,22.
Solución:
Sí.
Explicación:
1. AB ⁄ BC = 61,77 ⁄ 38,22 = 1,61 aprox.
2. (AB + BC) ⁄ AB = 99,99 ⁄ 61,77 = 1,61 aprox.
Como 1 y 2 son iguales, están en proporción áurea.
Pregunta 4: Comprueba si dos lados del triángulo están en proporción áurea o no AB = 0,618, BC = 1,333.
Solución:
No.
Explicación:
La cantidad más grande debe estar en el denominador
1. BC ⁄ AB = 1,333 ⁄ 0,618 = 2,15 aprox.
2. (AB + BC) ⁄ BC = 1,951 ⁄ 1,333 = 1,46 aprox.
Como 1 y 2 no son iguales, no están en proporción áurea.
Pregunta 5: Comprueba si el triángulo ABC es un triángulo dorado o no donde el ángulo A = 72°, B = 72°, C = 36°.
Solución:
Sí.
Explicación:
Al observar cuidadosamente,
El triángulo ABC es un triángulo isósceles ya que dos ángulos son iguales. Y la relación de ángulos es 2:2:1, que es una propiedad estándar para ser un triángulo dorado.
Pregunta 6: Comprueba si el triángulo ABC es un triángulo dorado o no donde el ángulo A = 76°, B = 72°, C = 34°.
Solución:
No.
Explicación:
Al observar cuidadosamente,
El triángulo ABC ni siquiera es un triángulo válido como suma de los ángulos A + B + C = 76 + 72 + 34 = 182°. Pero la suma de los ángulos del triángulo debe ser 180°.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ninja_hattori y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA