La trigonometría es una disciplina de las matemáticas que estudia las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Las funciones trigonométricas, también conocidas como funciones goniométricas, funciones angulares o funciones circulares, son funciones que establecen la relación entre un ángulo y la razón de dos de los lados de un triángulo rectángulo. Las seis funciones trigonométricas principales son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Los ángulos definidos por las proporciones de las funciones trigonométricas se conocen como ángulos trigonométricos. Los ángulos trigonométricos representan funciones trigonométricas. El valor del ángulo puede estar entre 0 y 360° .
Como se indica en la figura anterior en un triángulo rectángulo:
- Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, es el lado más largo en un triángulo rectángulo y opuesto al ángulo de 90°.
- Base: El lado sobre el que se encuentra el ángulo C se conoce como base.
- Perpendicular: Es el lado opuesto al ángulo C en consideración.
Funciones trigonométricas
La trigonometría tiene 6 funciones trigonométricas básicas, son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Ahora veamos las funciones trigonométricas. Las seis funciones trigonométricas son las siguientes,
seno: Se define como la relación entre la perpendicular y la hipotenusa y se representa como sen θ
coseno: Se define como la relación entre la base y la hipotenusa y se representa como cos θ
tangente: Se define como la relación entre el seno y el coseno de un ángulo. Así, la definición de tangente resulta ser la relación entre la perpendicular y la base y se representa como tan θ
cosecante: Es el recíproco de sen θ y se representa como cosec θ.
secante: Es el recíproco de cos θ y se representa como sec θ.
cotangente: Es el recíproco de tan θ y se representa como cot θ.
De acuerdo con la imagen de arriba, las razones trigonométricas son
Sin θ = Perpendicular / Hipotenusa = AB/AC
Coseno θ = Base / Hipotenusa = BC/AC
Tangente θ = Perpendicular / Base = AB/BC
Cosecante θ = Hipotenusa / Perpendicular = AC/AB
Secante θ = Hipotenusa / Base = AC/BC
Cotangente θ = Base / Perpendicular = BC/AB
Identidades recíprocas
Sin θ = 1/ Cosec θ O Cosec θ = 1/ Sin θ
Cos θ = 1/ Sec θ O Sec θ = 1 / Cos θ
Cot θ = 1 / Tan θ O Tan θ = 1 / Cot θ
Cot θ = Cos θ / Sin θ O Tan θ = Sin θ / Cos θ
Tan θ.Cot θ = 1
Valores de razones trigonométricas
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
|---|---|---|---|---|---|
| sen θ | 0 | 1/2 | 1√2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| Bronceado θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | No definida |
| Cosec θ | No definida | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| segundo θ | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | No definida |
| Cuna θ | No definida | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
Identidades trigonométricas de ángulos complementarios y suplementarios
- Ángulos Complementarios: Par de ángulos cuya suma es igual a 90°
- Ángulos Suplementarios: Par de ángulos cuya suma es igual a 180°
Las identidades de los ángulos complementarios son
sen (90° – θ) = cos θ
cos (90° – θ) = sen θ
bronceado (90° – θ) = cuna θ
cuna (90° – θ) = tan θ
segundo (90° – θ) = cosegundo θ
cosec (90° – θ) = sec θ
Identidades de ángulos suplementarios
sen (180° – θ) = sen θ
coseno (180° – θ) = – coseno θ
bronceado (180° – θ) = – bronceado θ
cuna (180° – θ) = – cuna θ
segundo (180° – θ) = – segundo θ
cosec (180° – θ) = – cosec θ
¿Quién es el fundador de la trigonometría?
Solución:
Aparentemente, la primera tabla trigonométrica fue formada por Hipparchus, quien, en consecuencia, ahora se conoce como «el padre de la trigonometría».
Hipparchus de Nicea, Hipparkhos; C. 190 – c. 120 aC fue un astrónomo, geógrafo y matemático griego.
Se le considera el fundador de la trigonometría, pero es más famoso por su descubrimiento incidental de la precesión de los equinoccios.
Hiparco nació en Nicea, Bitinia, y probablemente murió en la isla de Rodas, Grecia.
Se sabe que fue un astrónomo en activo entre el 162 y el 127 a.
Es el primero que creó la primera tabla trigonométrica y resolvió varios problemas de trigonometría esférica representando los valores correspondientes de arco y cuerda para una serie de ángulos como 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, etc.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Si x sen 3 θ + y cos 3 θ = sen θ cos θ y x sen θ – y cos θ = 0, entonces demuestre que x 2 + y 2 = 1, (donde, sen θ ≠ 0 y cos θ ≠ 0).
Solución:
Aquí tenemos,
x sen 3 θ + y cos 3 θ = sen θ cos θ
Dado:
x sen 3 θ + y cos 3 θ = sen θ cos θ
⇒ (x sen θ) sen 2 θ + (y cos θ) cos 2 θ = sen θ cos θ
⇒ (x sen θ) sen 2 θ + (x sen θ) cos 2 θ = sen θ cos θ (∵ y cos θ = x sen θ)
⇒ x sen θ(sen 2 θ + cos 2 θ) = sen θ cos θ (sen 2 θ + cos 2 θ = 1)
⇒ x sen θ = sen θ cos θ
⇒ x = cos θ ….(ecuación 1)
ahora otro trigono eq tenemos x sen θ – y cos θ = 0
podemos escribirlo como
x sen θ = y cos θ
de la ecuación 1 tenemos x = cos θ
así que ponlo encima de la ecuación. x sen θ = y cos θ
Entonces, x sen θ = y cos θ
cos θ sen θ = y cos θ
y = sen θ eq. 2
Ahora elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones 1 y
x = cos θ & y = sen θ
x 2 = cos 2 θ & y 2 = sen 2 θ
Y ahora
x 2 + y 2 = cos 2 θ + sen 2 θ { cos 2 θ + sen 2 θ = 1 }
x2 + y2 = 1
Por lo tanto probado
Pregunta 2: Si tan A = 4 y tan B = 2, encuentra el valor de tan(A – B).
Solución:
Según la fórmula
tan(A + B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
= (4 – 2)/(1 + 4 × 2)
= 2/9
Por lo tanto, el valor de tan(A – B) es 2/19.
Pregunta 3: Si sin(y) = 10/29, encuentre el valor de csc(-y)
Solución:
Aquí tenemos
sen(y) = P/B = 10/29
Asi que
cosec(-y) = 1/sin(-y)
= 1/(-seno)
= – (1/seno)
= – cosec(y) {Cosecante θ = Hipotenusa / Perpendicular = AC/AB}
= -{1/(10/29)}
= -29/10
Pregunta 4: Realiza la operación indicada y simplifica el resultado. {seg X}/{csc X} + {csc X}/{seg x}
Solución:
Tenemos
{seg X}/{csc X} + {csc X}/{seg x}
aquí podemos escribir csc x = 1/sen x y sec x = 1/cos x
= {(1/cos x )/ (1/ sen x) } + {(1 / sen x) / ( 1/cos x)}
= (sen x / cos x ) + ( cos x / sen x )
= tan x + cot x {Tan x = Sin x / Cos x y Cot x = Cos x / Sin x}
Por lo tanto, {sec X}/{csc X} + {csc X}/{sec x} = tan x + cot x
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ManasChhabra2 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA