Rango de una función

Las funciones en matemáticas se pueden considerar como máquinas expendedoras. Dado el dinero en forma de entrada, dan a cambio unas latas o galletas. De manera similar, las funciones toman algunos números de entrada y nos dan alguna salida. Se puede decir que, en la vida real, Todo se puede formular y resolver con la ayuda de funciones. Desde el diseño de edificios y la arquitectura hasta los megarascacielos, el modelo matemático de casi todo en la vida real requiere funciones. Por lo tanto, no se puede evitar que las funciones tengan un significado gigantesco en nuestras vidas. El dominio y el rango son un aspecto a través del cual se puede describir una función. 

Por ejemplo: supongamos que está escrito en la parte superior de la máquina que solo se pueden usar billetes de 20 y 50 rupias para comprar algo. ¿Qué pasa si alguien usa billetes de Rs.10? La máquina no dará ninguna salida. Entonces, el dominio representa qué tipo de entradas podemos tener en una función. En este caso, los billetes de 20 y 50 rupias son dominio de la “máquina expendedora”. Del mismo modo, no importa cuánto dinero uno ponga en la máquina, nunca obtendrá Sándwiches de ella. Entonces, el concepto de rango entra en juego aquí, el rango es el posible resultado que la máquina puede dar. 

Rango y Dominio de una Función

Dominio de una función:

Un dominio son todos los valores que pueden entrar en una función para la que da una salida válida. Es el conjunto de todas las posibles entradas de una función. 

Por ejemplo: en la siguiente figura, f(x) = x ² . El conjunto de todas las entradas se llama Dominio y el conjunto de todas las salidas se considera como el rango. 

¿Cómo encontrar el dominio de una función?

El dominio de la función debe contener todos los números reales excepto los puntos donde el denominador se convierte en cero y los términos debajo de las raíces cuadradas se vuelven negativos. Para encontrar el dominio, intente encontrar los puntos o valores de entrada sobre los cuales la función no está definida. 

Pregunta 1: Encuentra el dominio de 

Responder: 

Esta función puede dar una salida indefinida cuando x = 1. Entonces, el dominio es R – {1} . 

Pregunta 2: Encuentra el Dominio de la siguiente función:

                                

Respuesta : 

Es importante no hacer que la función sea Infinita o Indefinida, por lo tanto, necesitamos ver qué valores de Dominio pueden hacer que la Función sea Indefinida o Infinita.

Echando un vistazo al denominador, está claro que los valores 3 y 5 hacen que el denominador sea 0, por lo tanto, hacen que la función sea infinita, lo cual no es deseable. 

Por lo tanto, los valores x=3 y x=5 no se pueden colocar aquí.

El Dominio será R – {3,5}.

Pregunta 3: Encuentra los valores del Dominio para los cuales las Funciones Y = (2x ² -1) y Z= (1-3x) son iguales.

Respuesta : 

Igualando las dos funciones:

2 x ² – 1 = 1 – 3 x

2x ² + 3x – 2 = 0

2x ² + 4x – x – 2 = 0

2x (x+2) – 1 (x+2)= 0

(2x – 1) (x + 2) = 0

x = 1/2, -2.

Por lo tanto, los valores de Dominio son {1/2, -2}.

Rango de una función

El rango de una función es un conjunto de todas sus salidas posibles. 

Ejemplo: Consideremos una función ƒ: A⇢A, donde A = {1,2,3,4}. 

Los elementos del Dominio conjunto se denominan preimágenes, y los elementos del Codominio conjunto que se asignan a preimágenes se denominan imágenes. El rango de una función es un conjunto de todas las imágenes de elementos en el dominio. En este ejemplo, el rango de la función es {2,3}. 

¿Cómo encontrar el rango de una función?

El rango es la dispersión de los valores de la salida de una función. Si somos capaces de calcular los valores máximo y mínimo de la función, podemos tener una idea del rango de la función. 

Pregunta 1: Encuentra el rango. f(x) = 

Responder: 

Ahora, dado que la función es una raíz cuadrada, nunca puede dar valores negativos como salida. Entonces, el valor mínimo solo puede ser 0 en x = 1. El valor máximo puede llegar al infinito a medida que aumentamos x. 

Entonces, el rango de la función es [0,∞). 

Pregunta 2: ¿El dominio de la función ƒ definida por f(x) =  es? 

Responder: 

Dado, f(x) = .  

Uno tiene que asegurarse de dos cosas al seleccionar el conjunto de dominio, 

• El denominador nunca llega a cero.
• El término está dentro de la raíz cuadrada no se vuelve negativo.

Ampliemos lo que está escrito dentro del término dentro de la raíz cuadrada. 

 

En este caso, no podemos poner ninguno de los valores, x ≥ 0 o x < 0. 

Por lo tanto, f no está definida para cualquier x ∈ R. Entonces, el dominio es un conjunto vacío. 

Dominio y rango de funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son las funciones de la forma f(x) = ax ² + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0. La gráfica de una función cuadrática tiene la forma de una parábola. Es básicamente una forma curva que se abre hacia arriba o hacia abajo. 

Veamos cómo graficar funciones cuadráticas, 

Entonces, en nuestra función cuadrática

• si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
• si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Ahora, el vértice es el punto más alto o más bajo de nuestra curva dependiendo de la gráfica de la función cuadrática. Hallar el vértice de la gráfica de una expresión cuadrática general. 

En la forma cuadrática estándar, el vértice viene dado por   Uno tiene que encontrar el valor de x del vértice primero y luego solo tiene que introducirlo en la función para obtener el valor de y. 

Nota: Cada curva es simétrica alrededor de su eje vertical. 

Veamos algunos ejemplos, 

Pregunta: Trace la gráfica de f(x) = 2x ² + 4x + 2. 

Responder:

Comparando esta ecuación con la ecuación general de la función cuadrática. a = 2, b = -4 y c = 2. 

Como a > 0, esta parábola se abrirá hacia arriba. 

• Vértice x-valor = 
• Valor de vértice y = 2(-1) ² + 4(-1) + 2 = 0

Entonces, el vértice está en (-1,0). Como la parábola abre hacia arriba, este debe ser el valor mínimo de la función. 

El punto donde el gráfico corta el eje y es (0,2). 

El rango y el dominio de las funciones cuadráticas se pueden encontrar fácilmente trazando el gráfico. No siempre es necesario trazar el gráfico completo, para el rango solo se debe conocer la dirección de la parábola (hacia arriba o hacia abajo) y el valor de la parábola en el vértice. El valor en el vértice siempre es mínimo/máximo dependiendo de la dirección de la parábola. El dominio de tales funciones es siempre números reales enteros porque están definidos en todas partes, es decir; no hay ningún valor de entrada que pueda hacer que den indefinido como salida. 

Veamos otro ejemplo sobre el dominio y rango de la parábola. 

Pregunta: Trace la gráfica y encuentre el dominio y el rango de la función dada, f(x) = -x ² + 4.

Responder: 

Ya que, a = -1. La parábola se abrirá hacia abajo, es decir; no habrá un valor mínimo, se extenderá hasta el infinito. Pero habrá un valor máximo que ocurrirá en el vértice. 

Para hallar la posición del vértice se puede utilizar la fórmula anterior. El vértice está en la posición (0,4). 

El valor en el vértice (0,4) = (0) ² + 4 = 4. 

Entonces, el valor máximo es 4 y el valor mínimo es negativo de infinito. 

Rango de la función – (-∞, 4] y el dominio es R .