Recuento máximo de triángulos equiláteros que se pueden formar dentro de un triángulo equilátero dado

Dados dos números enteros N y K donde N denota el tamaño unitario de un Triángulo Equilátero más grande, la tarea es encontrar el número de un triángulo equilátero de tamaño K que están presentes en el triángulo más grande de lado N.

Ejemplos:

Entrada: N = 4, K = 3

Salida: 3
Explicación:
Hay 3 triángulos equiláteros de 3 unidades de tamaño que están presentes en el triángulo equilátero más grande de 4 unidades de tamaño.

Entrada: N = 4, K = 2
Salida: 7
Explicación:
Hay 7 triángulos equiláteros de 2 unidades de tamaño que están presentes en el triángulo equilátero más grande de 4 unidades de tamaño. 

Enfoque ingenuo: la idea es iterar sobre todos los tamaños posibles del triángulo equilátero más grande para verificar la cantidad de triángulos con el tamaño K requerido e imprimir el recuento total de triángulos.

Complejidad temporal: O(N)
Espacio auxiliar: O(1)

Enfoque eficiente: para optimizar el enfoque anterior, tenga en cuenta los siguientes puntos:

• El número de triángulos con un pico en la dirección ascendente del tamaño K presentes en el tamaño N es igual a ((N – K +1) * (N – K + 2))/2 .
• El número de triángulos invertidos con un pico en la dirección hacia abajo de tamaño K presentes en el tamaño N es igual a ((N – 2K + 1) * (N – 2K + 2))/2 .

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:

// C++ program for the above approach
#include <iostream>
using namespace std;
 
// Function to find the number of
// equilateral triangle formed
// within another triangle
int No_of_Triangle(int N, int K)
{
    // Check for the valid condition
    if (N < K)
        return -1;
 
    else {
 
        int Tri_up = 0;
 
        // Number of triangles having
        // upward peak
        Tri_up = ((N - K + 1)
                  * (N - K + 2))
                 / 2;
 
        int Tri_down = 0;
 
        // Number of inverted triangles
        Tri_down = ((N - 2 * K + 1)
                    * (N - 2 * K + 2))
                   / 2;
 
        // Total no. of K sized triangle
        return Tri_up + Tri_down;
    }
}
 
// Driver Code
int main()
{
    // Given N and K
    int N = 4, K = 2;
 
    // Function Call
    cout << No_of_Triangle(N, K);
    return 0;
}

// Java program for the above approach
import java.util.*;
class GFG{
 
// Function to find the number of
// equilateral triangle formed
// within another triangle
static int No_of_Triangle(int N, int K)
{
    // Check for the valid condition
    if (N < K)
        return -1;
 
    else
    {
        int Tri_up = 0;
 
        // Number of triangles having
        // upward peak
        Tri_up = ((N - K + 1) * (N - K + 2)) / 2;
 
        int Tri_down = 0;
 
        // Number of inverted triangles
        Tri_down = ((N - 2 * K + 1) *
                    (N - 2 * K + 2)) / 2;
 
        // Total no. of K sized triangle
        return Tri_up + Tri_down;
    }
}
 
// Driver Code
public static void main(String[] args)
{
    // Given N and K
    int N = 4, K = 2;
 
    // Function Call
    System.out.print(No_of_Triangle(N, K));
}
}
 
// This code is contributed by PrinciRaj1992

# Python3 program for the above approach
 
# Function to find the number of
# equilateral triangle formed
# within another triangle
def No_of_Triangle(N, K):
   
    # Check for the valid condition
    if (N < K):
        return -1;
 
    else:
        Tri_up = 0;
 
        # Number of triangles having
        # upward peak
        Tri_up = ((N - K + 1) *
                  (N - K + 2)) // 2;
 
        Tri_down = 0;
 
        # Number of inverted triangles
        Tri_down = ((N - 2 * K + 1) *
                    (N - 2 * K + 2)) // 2;
 
        # Total no. of K sized triangle
        return Tri_up + Tri_down;
     
# Driver Code
if __name__ == '__main__':
    # Given N and K
    N = 4; K = 2;
 
    # Function Call
    print(No_of_Triangle(N, K));
 
# This code is contributed by sapnasingh4991

// C# program for the above approach
using System;
class GFG{
 
// Function to find the number of
// equilateral triangle formed
// within another triangle
static int No_of_Triangle(int N, int K)
{
    // Check for the valid condition
    if (N < K)
        return -1;
 
    else
    {
        int Tri_up = 0;
 
        // Number of triangles having
        // upward peak
        Tri_up = ((N - K + 1) * (N - K + 2)) / 2;
 
        int Tri_down = 0;
 
        // Number of inverted triangles
        Tri_down = ((N - 2 * K + 1) *
                    (N - 2 * K + 2)) / 2;
 
        // Total no. of K sized triangle
        return Tri_up + Tri_down;
    }
}
 
// Driver Code
public static void Main(String[] args)
{
    // Given N and K
    int N = 4, K = 2;
 
    // Function Call
    Console.Write(No_of_Triangle(N, K));
}
}
 
// This code is contributed by Rajput-Ji

<script>
 
// JavaScript program for the above approach
 
// Function to find the number of
// equilateral triangle formed
// within another triangle
function No_of_Triangle(N, K)
{
    // Check for the valid condition
    if (N < K)
        return -1;
 
    else {
 
        let Tri_up = 0;
 
        // Number of triangles having
        // upward peak
        Tri_up = Math.floor(((N - K + 1)
                * (N - K + 2))
                / 2);
 
        let Tri_down = 0;
 
        // Number of inverted triangles
        Tri_down = Math.floor(((N - 2 * K + 1)
                    * (N - 2 * K + 2))
                / 2);
 
        // Total no. of K sized triangle
        return Tri_up + Tri_down;
    }
}
 
// Driver Code
 
    // Given N and K
    let N = 4, K = 2;
 
    // Function Call
    document.write(No_of_Triangle(N, K));
 
 
// This code is contributed by Surbhi Tyagi.
 
</script>

7

Tiempo Complejidad: O(1)
Espacio Auxiliar: O(1)