En matemáticas, una expresión algebraica que consta de variables, coeficientes y operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación o división se denomina polinomio. La forma general de un polinomio es ax n + bx n-1 + cx n-2 +… + 1. Una ecuación es un enunciado matemático que expresa la relación entre dos valores. Una ecuación algebraica es una ecuación que tiene la forma de ax n + bx n-1 + cx n-2 +… + 1 = 0. Por ejemplo, 2x-5 = 0 es un ejemplo de una ecuación algebraica donde (2x- 5) es un polinomio. Hay varios tipos de ecuaciones algebraicas según el grado más alto de la variable, como una ecuación lineal, una ecuación cuadrática, una ecuación cúbica, etc.
La ecuación cúbica es una ecuación algebraica donde el grado más alto del polinomio es 3. Algunos ejemplos de ecuaciones cúbicas son
x 3 – 4x 2 + 15x – 9 = 0, 2x 3 – 4x 2 + 5 = 0, etc.
La forma general de una ecuación cúbica es,
hacha 3 + bx 2 + cx + d = 0, a ≠ 0
dónde,
a, b y c son los coeficientes y d es la constante.
¿Cómo resolver ecuaciones cúbicas?
Una ecuación cúbica se puede resolver tradicionalmente reduciéndola a una ecuación cuadrática y luego resolviéndola mediante factorización o la fórmula cuadrática. Así como una ecuación cuadrática tiene dos raíces, una ecuación cúbica tiene tres raíces. Una ecuación cúbica puede tener tres raíces reales o una raíz real y dos raíces imaginarias. Cualquier ecuación, incluidas las ecuaciones cúbicas, siempre debe organizarse primero en su forma estándar.
Por ejemplo, si la ecuación dada es 2x 2 -5 = x + 4/x, entonces tenemos que reorganizarla en su forma estándar, es decir, 2x 3 -x 2 -5x-4 = 0. Ahora, podemos Resuelve la ecuación usando cualquier método apropiado.
Una ecuación cúbica se puede resolver de las siguientes maneras:
- Encontrar soluciones enteras con listas de factores
- Usando el método gráfico
Resolviendo la ecuación cúbica usando factores del polinomio
Ejemplo: Encuentra las raíces de la ecuación f(x) = 3x 3 −16x 2 + 23x − 6 = 0.
Solución:
Expresión dada: f(x) = 3x 3 −16x 2 + 23x − 6 = 0.
Primero, factoriza el polinomio para obtener raíces.
Como la constante es +6, los factores posibles son 1, 2, 3, 6.
f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0
f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0
f(3) = 81 – 144 + 69 – 6 = 0
f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0
Sabemos que, si f(a) = 0, entonces (xa) es factor de f(x).
Entonces, (x – 2) y (x – 3) son factores de f(x). Ahora, para encontrar los factores restantes, use el método de división sintética.
(x – 2)(x – 3) = (x 2 – 5x + 6)
Entonces, (3x- 1) es otro factor de f(x).
Asi que,
las raíces de la ecuación dada son 1/3, 2 y 3.
Resolviendo la ecuación usando el método gráfico
Una ecuación cúbica se resuelve gráficamente cuando no puedes resolver la ecuación dada usando otras técnicas. Entonces, necesitamos un dibujo preciso de la ecuación cúbica dada. Las raíces de la ecuación son los puntos en los que la gráfica cruza el eje X. El número de soluciones reales de la ecuación cúbica es igual al número de veces que la gráfica de la ecuación cúbica cruza el eje x.
Ejemplo: Encuentra las raíces de la ecuación f(x) = x 3 − 4x 2 − 9x + 36 = 0, usando el método gráfico.
Solución:
Expresión dada: f(x) = x 3 − 4x 2 − 9x + 36 = 0.
Ahora, simplemente sustituya valores aleatorios por x en el gráfico para la función dada:
X
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f(x)
-56
0
19
40
36
24
10
0
0
dieciséis
Podemos ver que la gráfica ha cortado el eje X en 3 puntos, por lo tanto, hay 3 soluciones reales.
Del gráfico, las soluciones son: x = -3, x = 3 y x = 4.
Por lo tanto, las raíces de la ecuación dada son -3, 3 y 4.
Problemas basados en la resolución de ecuaciones cúbicas
Problema 1: Encuentra las raíces de f(x) = x 3 – 4x 2 -3x + 6 = 0.
Solución:
Expresión dada: f(x) = x 3 – 4x 2 -3x + 6 = 0.
Primero, factoriza el polinomio para obtener raíces.
Como la constante es +6, los factores posibles son 1, 2, 3, 6.
f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0
f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0
f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0
f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0
Entonces, (x – 1) es un factor de la ecuación dada. Ahora, para encontrar los factores restantes, use el método de división sintética.
Entonces, f(x) = x 3 – 4x 2 -3x + 6 = (x – 1) (x 2 – 3x – 6) = 0
Sabemos que las raíces de una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 son,
x = [-b ± √(b 2 -4ac)]/2a
x = [3 ± √(3 2 – 4(1)(-6)]/2(1)
x = (3 ± √33)/2
Por lo tanto, las raíces de la ecuación cúbica dada son 1, (3+√33)/2 y (3–√33)/2.
Problema 2: Encuentra las raíces de la ecuación f(x) = 4x 3 – 10x 2 + 4x = 0.
Solución:
Expresión dada: f(x) = 4x 3 – 10x 2 + 4x = 0
⇒ x (4x 2 – 10x + 4) = 0
⇒ x (4x 2 – 8x – 2x + 4) = 0
⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0
⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0
⇒ x = 0 o 4x – 2 = 0, x – 2 = 0
⇒ x = 0 o x = 1/2 o x = 2
Por lo tanto, las raíces de la ecuación dada son 0, 1/2 y 2.
Problema 3: Encuentra las raíces de la ecuación f(x) = x 3 + 3x 2 + x + 3 = 0.
Solución:
Expresión dada: f(x) = x 3 + 3x 2 + x + 3 = 0.
⇒ x 2 (x + 3) + 1 (x + 3) = 0
⇒ (x + 3) (x 2 + 1) = 0
⇒ x + 3 = 0 o x 2 + 1 = 0
⇒x = -3, ±i
Entonces, la ecuación dada tiene una raíz real, es decir, -3, y dos raíces imaginarias, es decir, ±i.
Problema 4: Encuentra las raíces de la ecuación f(x) = x 3 – 3x 2 – 5x + 7 = 0.
Solución:
Expresión dada: f(x) = x 3 – 3x 2 – 5x + 7 = 0.
Primero, factoriza el polinomio para obtener raíces.
Como la constante es +7, los factores posibles son 1 y 7.
f(1) = 1 – 3 – 5 + 7 = 0
f(7) = 343 – 147 – 35 + 7 ≠ 0
Entonces, (x – 1) es un factor de la ecuación dada. Ahora, para encontrar los factores restantes, use el método sintético de división.
Entonces, f(x) = x 3 – 3x 2 – 5x + 7 = (x – 1) (x 2 – 2x – 7) = 0
Sabemos que las raíces de una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 son,
x = [-b ± √(b 2 -4ac)]/2a
x = [2 ± √(2 2 –4(1)(-7)]/2(1)
= (2 ± √30)/2
Por lo tanto, las raíces de la ecuación cúbica dada son 1, (2+√30)/2 y (2–√30)/2.
Problema 5: Encuentra las raíces de la ecuación f(x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 = 0, usando el método gráfico.
Solución:
Expresión dada: f(x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 = 0.
Ahora, simplemente sustituya valores aleatorios por x en el gráfico para la función dada:
X
1
2
3
4
5
f(x)
0
0
0
6
24
Podemos ver que la gráfica ha cortado el eje X en 3 puntos, por lo tanto, hay 3 soluciones reales.
Del gráfico, las soluciones son: x = 1, x = 2 y x = 3.
Por lo tanto, las raíces de la ecuación dada son 1, 2 y 3.
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Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA