Resolviendo el problema de ecuación diferencial de segundo orden de valor inicial usando la transformada de Laplace en MATLAB

En el dominio del cálculo multivariable, el problema de valor inicial (IVP) es una ecuación diferencial general dada junto con algunas condiciones iniciales, que generalmente especifican el valor de la función desconocida en algún punto dado en su dominio. Aquí, las condiciones iniciales son valores de la solución y/o su(s) derivado(s) en un punto(s) específico(s) en su dominio.

Pasos para resolver el problema de ecuación diferencial de segundo orden con valor inicial usando la transformada de Laplace:

Paso 1: aplicar la transformada de Laplace a la ecuación dada en ambos lados.

Paso 2: separe los términos ‘L(y)’ después de aplicar la transformada de Laplace. 

Paso 3: Sustituya las condiciones de valor inicial dadas junto con la ecuación diferencial de segundo orden en la ‘L(y)’ que se encuentra en el paso anterior.

Paso 4: simplifica la ‘L(y)’.

Paso 5: ahora, aplique la transformada inversa de Laplace en ambos lados de la ecuación anterior. Por eso. obtuvimos la solución requerida ‘y(t)’ (Ya que, InvL(L(y))=>y ).

Acercarse:

• disp(txt): este método muestra el ‘txt’.
• input(txt): este método muestra el ‘txt’ y espera a que el usuario ingrese un valor y presione la tecla Retorno.
• diff(y) (o) diff(y,x) : Este método diferencia y con respecto a x.
• laplace (y,ts): este método devuelve la transformada de Laplace de, donde la variable independiente es ‘t’ y la variable de transformación es ‘s’.
• subs(y, old, new): este método devuelve una copia de y, reemplazando todas las apariciones de old con new.
• ilaplace(Y,s,t): Este método devuelve la Transformada Inversa de Laplace de Y, donde la variable independiente es s y la variable de transformación es t
• ezplot(y,xinterval): este método traza la curva y=f(x) sobre el intervalo especificado ‘xinterval’.

Ejemplo 1:

% MATLAB code to Solve Initial Value Second Order
% Differential Equation Problem using Laplace Transform:
 % To clear all variables from the current workspace
clear all
clc      
disp("Solving Initial Value 2nd Order Differential Equation
 Problem using Laplace Transform in MATLAB | GeeksforGeeks")
 
% To Declare them as Variables
syms t s y(t) Y      
dy(t)=diff(y(t));     
d2y(t)=diff(y(t),2); 
F=input('Input the coefficients [a,b,c]:  ');
 
% Coefficients of the 2nd Order Differential Equation
a=F(1);b=F(2);c=F(3);
 
% R.H.S of the 2nd Order Differential Equation
nh=input('Enter the non-homogeneous part f(x) :');
 
% 2nd Order Differential Equation Formed
equation=(a*d2y(t)+b*dy(t)+c*y(t)-nh);
LTY=laplace(equation,t,s);
 
% Initial Value Conditions
y0=IC(1);dy0=IC(2);
IC=input('Enter the initial conditions in the form [y0,Dy(0)]:');
disp("After applying Laplace Transform on Both Sides: ")
 
% Y = L(y)
LTY=subs(LTY,laplace(y(t),t,s),Y)     
 
% Substitute the Initial Value Condition-1 (y(0))
LTY=subs(LTY,y(0),y0);                 
 
% Substitute the Initial Value Condition-2 (y'(0))
LTY=subs(LTY,subs(diff(y(t),t),0),dy0);
 
% Collect the 'Y' Terms (L(y) terms)
eq=collect(LTY,Y);                     
disp("After Simplification, L(y) is: ")
 
% Simplify 'Y'
Y=simplify(solve(eq,Y)) 
 
% Find Inverse Laplace of 'Y' (ILap(Y)=ILap(L(y))=y))
yt=simplify(ilaplace(Y,s,t));          
disp('The solution of the differential equation y(t)=')
disp(yt);
 
% Displaying the Plot of y(t) Found
ezplot(yt,[y0, y0+2]);

Producción:

d^2y/dt^2 + 2dy/dt + 5y = exp(-t)(sin(t)), y(0)=0 ,y'(0)=1

 

Ejemplo 2:

% MATLAB code to Solve Initial Value Second Order
% Differential Equation Problem using Laplace Transform:
 % To clear all variables from the current workspace
clear all
clc      
disp("Solving Initial Value 2nd Order Differential Equation
 Problem using Laplace Transform in MATLAB | GeeksforGeeks")
 
% To Declare them as Variables
syms t s y(t) Y      
dy(t)=diff(y(t));     
d2y(t)=diff(y(t),2); 
F=input('Input the coefficients [a,b,c]:  ');
 
% Coefficients of the 2nd Order Differential Equation
a=F(1);b=F(2);c=F(3);
 
% R.H.S of the 2nd Order Differential Equation
nh=input('Enter the non-homogeneous part f(x) :');
 
% 2nd Order Differential Equation Formed
equation=(a*d2y(t)+b*dy(t)+c*y(t)-nh);
LTY=laplace(equation,t,s);
 
% Initial Value Conditions
y0=IC(1);dy0=IC(2);
IC=input('Enter the initial conditions in the form [y0,Dy(0)]:');
disp("After applying Laplace Transform on Both Sides: ")
 
% Y = L(y)
LTY=subs(LTY,laplace(y(t),t,s),Y)     
 
% Substitute the Initial Value Condition-1 (y(0))
LTY=subs(LTY,y(0),y0);                 
 
% Substitute the Initial Value Condition-2 (y'(0))
LTY=subs(LTY,subs(diff(y(t),t),0),dy0);
 
% Collect the 'Y' Terms (L(y) terms)
eq=collect(LTY,Y);                     
disp("After Simplification, L(y) is: ")
 
% Simplify 'Y'
Y=simplify(solve(eq,Y)) 
 
% Find Inverse Laplace of 'Y' (ILap(Y)=ILap(L(y))=y))
yt=simplify(ilaplace(Y,s,t));          
disp('The solution of the differential equation y(t)=')
disp(yt);
 
% Displaying the Plot of y(t) Found
ezplot(yt,[y0, y0+2]);

Producción:

d^2y/dt^2 - 2dy/dt + y = e^t, y(0)=2 ,y'(0)=-1