Rompecabezas 6 | (Problema de Monty Hall)

Suponga que está en un programa de juegos y le dan a elegir entre tres puertas: detrás de una puerta hay un automóvil; detrás de los demás, cabras. Escoges una puerta, dices la número 1, y el anfitrión, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra puerta, dices la número 3, que tiene una cabra. Luego te dice: «¿Quieres elegir la puerta número 2?» ¿Te conviene cambiar tu elección?
 

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem 

Solución: 
si cambias, obtienes el auto con una probabilidad de 2/3. Así que cambiar siempre es una buena opción. Consulte esta videoconferencia del MIT para obtener una gran explicación. Consulte la simulación editable en línea de Monty Hall para jugar con cómo cambian las cosas con múltiples puertas, premios, etc. 

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. Si «el anfitrión, quién sabe qué hay detrás de las puertas» abre una puerta que tiene una cabra, entonces la probabilidad de que el automóvil estuviera detrás de esa puerta era 0 antes de que se abriera la puerta (en realidad, tan pronto como el automóvil se colocó detrás de una puerta). Dado que el anfitrión sabe qué puerta tiene el automóvil detrás, entonces la probabilidad de que el automóvil esté detrás de esa puerta es 1. Por lo tanto, la probabilidad de ganar al cambiar es 0 (si el anfitrión sabe que la puerta no tiene el automóvil detrás) ) o 1 (si el anfitrión sabe que la puerta tiene el auto detrás), no 2/3.

Prueba –

Sean E ₁ , E ₂ y E ₃ 3 Eventos, tales que 

E ₁ = El coche está detrás de la puerta 1, 

E ₂ = El coche está detrás de la puerta 2,

E ₃ = El coche está detrás de la puerta 3

Y considere otro evento A, tal que A = El anfitrión abre la puerta 3

Entonces, básicamente tenemos que encontrar la probabilidad P(E ₁ |A), que básicamente significa «¿Cuál es la probabilidad de que el automóvil esté detrás de la puerta 1, dado que el anfitrión ya abrió la puerta 3».

Entonces, de acuerdo con el teorema de Bayes, podemos escribir esta probabilidad como:

Ahora aquí, tenemos probabilidades P(E ₁ )=P(E ₂ )=P(E ₃ )=1/3, ya que antes era igualmente probable que el automóvil pudiera estar detrás de la puerta 1, o de la puerta 2, o de la puerta 3.

A continuación, P(A│E ₁ )=Probabilidad de que el anfitrión haya abierto la puerta 3, dado que el coche está detrás de la puerta 1 = 1/2, ya que el anfitrión puede abrir la puerta 2 o la puerta 3, ya que ambos no tienen la coche detrás de ellos.

Y tenemos P(A│E ₂ )=Probabilidad de que el host haya abierto la puerta 3, dado que el auto está detrás de la puerta 2 = 1, porque si el auto está detrás de la puerta 2, entonces la única puerta que el host puede abrir es la puerta 3

Y, P(A│E ₃ )=Probabilidad de que el anfitrión haya abierto la puerta 3, dado que el auto está detrás de la puerta 3 = 0

Esto se debe a que la probabilidad de que el anfitrión abra la puerta que tiene el automóvil detrás era 0 según la pregunta, ya que nunca abre la puerta que tiene el automóvil detrás.

Entonces, poniendo todos estos valores en la fórmula anterior, obtenemos-

Por lo tanto, podemos ver que hay una probabilidad de 1/3 de que el automóvil esté detrás de la puerta 1 ⇒ hay una probabilidad de 1−1/3 = 2/3 de que el automóvil esté detrás de la puerta 2.

Por lo tanto, debe cambiar.

O 

Aquí hay dos casos:

1. Conmutación

2. No cambiar

Caso 1 :

Si sabemos que estamos cambiando, debemos seleccionar una puerta que tenga una cabra para ganar el automóvil. Cuando seleccionamos una puerta que tiene una cabra, el anfitrión solo debe abrir la puerta que tiene la otra cabra para que la puerta restante tenga un automóvil que obtenemos al cambiar.

Entonces, la probabilidad de seleccionar una puerta que tenga una cabra es 2/3, ya que 2 de cada 3 puertas tienen cabras.

Por lo tanto, la probabilidad de ganar un auto cambiando es 2/3.

Caso 2:

Si sabemos que no vamos a cambiar, debemos seleccionar una puerta que tenga un automóvil para ganar el automóvil. 

Entonces, la probabilidad de seleccionar una puerta que tenga un automóvil es 1/3 ya que 1 puerta de cada 3 tiene un automóvil.

Por lo tanto, la probabilidad de ganar un auto al no cambiar es 1/3.

Como la probabilidad de ganar un automóvil cambiando es mayor que no cambiar. Es una ventaja cambiar.