Rompecabezas 72 | Enfermedades y Pruebas

Dinoo está preocupado de que pueda tener una enfermedad rara. Decide hacerse la prueba y suponer que los métodos de prueba para esta enfermedad son correctos el 99 por ciento de las veces (en otras palabras, si tiene la enfermedad, muestra que la tiene con un 99 por ciento de probabilidad, y si no la tiene tiene la enfermedad, muestra que no la tiene con un 99 por ciento de probabilidad). Supongamos que esta enfermedad es en realidad bastante rara y ocurre al azar en la población general en solo una de cada 10,000 personas.
Si los resultados de su prueba son positivos, ¿cuáles son sus posibilidades de que realmente tenga la enfermedad?

1. .99
2.  .90,
3. .10
4. .01

Solución : La respuesta es (d) , menos del 1 por ciento de probabilidad de que tenga la enfermedad.

Explicación: 
Después de discutir las razones de la probabilidad sorprendente (a continuación), debería ver cómo el cambio de los parámetros afecta el resultado. ¿Sería tan sorprendente el resultado si la enfermedad fuera más común? ¿Cómo cambiaría la probabilidad si permitiera que el porcentaje de falsos positivos y falsos negativos fuera diferente?

Este hecho puede deducirse usando algo llamado el teorema de Bayes, que nos ayuda a encontrar la probabilidad del evento A dado el evento B, escrito P(A|B), en términos de la probabilidad de B dado A, escrito P(B|A) , y las probabilidades de A y B:

                                  P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)
                                  => P(B) = P(A)P(B|A)/P(A/B)

• En este caso, el evento A es el evento que tiene esta enfermedad, y el evento B es el evento que da positivo.
• Así P(B|no A) es la probabilidad de un “falso positivo”: que dé positivo aunque no tenga la enfermedad. Aquí, P(B|A)=.99, P(A)=.0001, y P(B) pueden derivarse condicionando si el evento A ocurre o no:
  P(B)=P(B|A )P(A)+P(B|no A)P(no A) O .99*.0001+.01*.9999. Por lo tanto, la relación que se obtiene del teorema de Bayes es inferior al 1 por ciento.

La razón básica por la que obtenemos un resultado tan sorprendente es que la enfermedad es tan rara que la cantidad de falsos positivos supera con creces a las personas que realmente tienen la enfermedad. Esto se puede ver al pensar en lo que podemos esperar en 1 millón de casos. En esos millones, alrededor de 100 tendrán la enfermedad, y alrededor de 99 de esos casos serán correctamente diagnosticados de tenerla. De lo contrario, alrededor de 999,900 del millón no tendrán la enfermedad, pero de esos casos, alrededor de 9999 serán falsos positivos (resultados de pruebas que son positivos debido a errores). Entonces, si da positivo, entonces la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad es de aproximadamente 99/(99+9999), lo que da la misma fracción que la anterior, ¡aproximadamente 0,0098 o menos del 1 por ciento!

Artículo relacionado – Teorema de Bayes

Prueba 

Este rompecabezas es aportado por Praveer Satyam. Escriba comentarios si encuentra algo incorrecto o si desea compartir más información sobre el tema tratado anteriormente.