Dada una array de adyacencia adj[][] de un grafo no dirigido que consta de N vértices, la tarea es encontrar si el grafo contiene un camino hamiltoniano o no. Si se encuentra que es cierto, escriba «Sí» . De lo contrario, escriba “No” .
Un camino hamiltoniano se define como el camino en un gráfico dirigido o no dirigido que visita todos y cada uno de los vértices del gráfico exactamente una vez.
Ejemplos:
Entrada: adj[][] = {{0, 1, 1, 1, 0}, {1, 0, 1, 0, 1}, {1, 1, 0, 1, 1}, {1, 0, 1, 0, 0}}
Salida: Sí
Explicación:
existe una ruta hamiltoniana para el gráfico dado, como se muestra en la imagen a continuación:
Entrada: adj[][] = {{0, 1, 0, 0}, {1, 0, 1, 1}, {0, 1, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}}
Salida : No
Enfoque ingenuo: el enfoque más simple para resolver el problema dado es generar todas las permutaciones posibles de N vértices. Para cada permutación, verifique si es una ruta hamiltoniana válida verificando si hay un borde entre vértices adyacentes o no. Si se encuentra que es cierto, escriba «Sí» . De lo contrario, escriba “No” .
Complejidad temporal: O(N * N!)
Espacio auxiliar: O(1)
Enfoque eficiente: el enfoque anterior se puede optimizar mediante el uso de programación dinámica y enmascaramiento de bits , que se basa en las siguientes observaciones:
- La idea es tal que para todo subconjunto S de vértices, comprobar si existe un camino hamiltoniano en el subconjunto S que termina en el vértice v donde v € S .
- Si v tiene un vecino u , donde u € S – {v} , por lo tanto, existe un camino hamiltoniano que termina en el vértice u .
- El problema se puede resolver generalizando el subconjunto de vértices y el vértice final del camino hamiltoniano.
Siga los pasos a continuación para resolver el problema:
- Inicialice una array booleana dp[][] en dimensión N*2 N donde dp[j ][i] representa si existe o no un camino en el subconjunto representado por la máscara i que visita todos y cada uno de los vértices en i una vez y termina en el vértice j .
- Para el caso base, actualice dp[i][1 << i] = true , for i in range [0, N – 1]
- Iterar sobre el rango [1, 2 N – 1] usando la variable i y realizar los siguientes pasos:
- Todos los vértices con bits establecidos en la máscara i, se incluyen en el subconjunto.
- Itere sobre el rango [1, N] usando la variable j que representará el vértice final de la ruta hamiltoniana de la máscara de subconjunto actual i y realice los siguientes pasos:
- Si el valor de i y 2 j es verdadero, itere sobre el rango [1, N] usando la variable k y si el valor de dp[k][i^2 j ] es verdadero , entonces marque dp[j][ i] es verdadero y sale del bucle .
- De lo contrario, continúe con la siguiente iteración .
- Itere sobre el rango usando la variable i y si el valor de dp[i][2 N – 1] es verdadero , entonces existe un camino hamiltoniano que termina en el vértice i . Por lo tanto, imprima “Sí” . De lo contrario, escriba “No” .
A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:
C++
// C++ program for the above approach
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5;
// Function to check whether there
// exists a Hamiltonian Path or not
bool Hamiltonian_path(
vector<vector<int> >& adj, int N)
{
int dp[N][(1 << N)];
// Initialize the table
memset(dp, 0, sizeof dp);
// Set all dp[i][(1 << i)] to
// true
for (int i = 0; i < N; i++)
dp[i][(1 << i)] = true;
// Iterate over each subset
// of nodes
for (int i = 0; i < (1 << N); i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
// If the jth nodes is included
// in the current subset
if (i & (1 << j)) {
// Find K, neighbour of j
// also present in the
// current subset
for (int k = 0; k < N; k++) {
if (i & (1 << k)
&& adj[k][j]
&& j != k
&& dp[k][i ^ (1 << j)]) {
// Update dp[j][i]
// to true
dp[j][i] = true;
break;
}
}
}
}
}
// Traverse the vertices
for (int i = 0; i < N; i++) {
// Hamiltonian Path exists
if (dp[i][(1 << N) - 1])
return true;
}
// Otherwise, return false
return false;
}
// Driver Code
int main()
{
// Input
vector<vector<int> > adj = { { 0, 1, 1, 1, 0 },
{ 1, 0, 1, 0, 1 },
{ 1, 1, 0, 1, 1 },
{ 1, 0, 1, 0, 0 } };
int N = adj.size();
// Function Call
if (Hamiltonian_path(adj, N))
cout << "YES";
else
cout << "NO";
return 0;
}
Java
// Java program for the above approach
import java.io.*;
import java.lang.*;
import java.util.*;
class GFG{
// Function to check whether there
// exists a Hamiltonian Path or not
static boolean Hamiltonian_path(int adj[][], int N)
{
boolean dp[][] = new boolean[N][(1 << N)];
// Set all dp[i][(1 << i)] to
// true
for(int i = 0; i < N; i++)
dp[i][(1 << i)] = true;
// Iterate over each subset
// of nodes
for(int i = 0; i < (1 << N); i++)
{
for(int j = 0; j < N; j++)
{
// If the jth nodes is included
// in the current subset
if ((i & (1 << j)) != 0)
{
// Find K, neighbour of j
// also present in the
// current subset
for(int k = 0; k < N; k++)
{
if ((i & (1 << k)) != 0 &&
adj[k][j] == 1 && j != k &&
dp[k][i ^ (1 << j)])
{
// Update dp[j][i]
// to true
dp[j][i] = true;
break;
}
}
}
}
}
// Traverse the vertices
for(int i = 0; i < N; i++)
{
// Hamiltonian Path exists
if (dp[i][(1 << N) - 1])
return true;
}
// Otherwise, return false
return false;
}
// Driver Code
public static void main(String[] args)
{
int adj[][] = { { 0, 1, 1, 1, 0 },
{ 1, 0, 1, 0, 1 },
{ 1, 1, 0, 1, 1 },
{ 1, 0, 1, 0, 0 } };
int N = adj.length;
// Function Call
if (Hamiltonian_path(adj, N))
System.out.println("YES");
else
System.out.println("NO");
}
}
// This code is contributed by Kingash
Python3
# Python3 program for the above approach
# Function to check whether there
# exists a Hamiltonian Path or not
def Hamiltonian_path(adj, N):
dp = [[False for i in range(1 << N)]
for j in range(N)]
# Set all dp[i][(1 << i)] to
# true
for i in range(N):
dp[i][1 << i] = True
# Iterate over each subset
# of nodes
for i in range(1 << N):
for j in range(N):
# If the jth nodes is included
# in the current subset
if ((i & (1 << j)) != 0):
# Find K, neighbour of j
# also present in the
# current subset
for k in range(N):
if ((i & (1 << k)) != 0 and
adj[k][j] == 1 and
j != k and
dp[k][i ^ (1 << j)]):
# Update dp[j][i]
# to true
dp[j][i] = True
break
# Traverse the vertices
for i in range(N):
# Hamiltonian Path exists
if (dp[i][(1 << N) - 1]):
return True
# Otherwise, return false
return False
# Driver Code
adj = [ [ 0, 1, 1, 1, 0 ] ,
[ 1, 0, 1, 0, 1 ],
[ 1, 1, 0, 1, 1 ],
[ 1, 0, 1, 0, 0 ] ]
N = len(adj)
if (Hamiltonian_path(adj, N)):
print("YES")
else:
print("NO")
# This code is contributed by maheshwaripiyush9
C#
// C# program for the above approach
using System;
class GFG{
// Function to check whether there
// exists a Hamiltonian Path or not
static bool Hamiltonian_path(int[,] adj, int N)
{
bool[,] dp = new bool[N, (1 << N)];
// Set all dp[i][(1 << i)] to
// true
for(int i = 0; i < N; i++)
dp[i, (1 << i)] = true;
// Iterate over each subset
// of nodes
for(int i = 0; i < (1 << N); i++)
{
for(int j = 0; j < N; j++)
{
// If the jth nodes is included
// in the current subset
if ((i & (1 << j)) != 0)
{
// Find K, neighbour of j
// also present in the
// current subset
for(int k = 0; k < N; k++)
{
if ((i & (1 << k)) != 0 &&
adj[k, j] == 1 && j != k &&
dp[k, i ^ (1 << j)])
{
// Update dp[j][i]
// to true
dp[j, i] = true;
break;
}
}
}
}
}
// Traverse the vertices
for(int i = 0; i < N; i++)
{
// Hamiltonian Path exists
if (dp[i, (1 << N) - 1])
return true;
}
// Otherwise, return false
return false;
}
// Driver Code
public static void Main(String[] args)
{
int[,] adj = { { 0, 1, 1, 1, 0 },
{ 1, 0, 1, 0, 1 },
{ 1, 1, 0, 1, 1 },
{ 1, 0, 1, 0, 0 } };
int N = adj.GetLength(0);
// Function Call
if (Hamiltonian_path(adj, N))
Console.WriteLine("YES");
else
Console.WriteLine("NO");
}
}
// This code is contributed by ukasp
Javascript
<script>
// Javascript program for the above approach
var N = 5;
// Function to check whether there
// exists a Hamiltonian Path or not
function Hamiltonian_path( adj, N)
{
var dp = Array.from(Array(N), ()=> Array(1 << N).fill(0));
// Set all dp[i][(1 << i)] to
// true
for (var i = 0; i < N; i++)
dp[i][(1 << i)] = true;
// Iterate over each subset
// of nodes
for (var i = 0; i < (1 << N); i++) {
for (var j = 0; j < N; j++) {
// If the jth nodes is included
// in the current subset
if (i & (1 << j)) {
// Find K, neighbour of j
// also present in the
// current subset
for (var k = 0; k < N; k++) {
if (i & (1 << k)
&& adj[k][j]
&& j != k
&& dp[k][i ^ (1 << j)]) {
// Update dp[j][i]
// to true
dp[j][i] = true;
break;
}
}
}
}
}
// Traverse the vertices
for (var i = 0; i < N; i++) {
// Hamiltonian Path exists
if (dp[i][(1 << N) - 1])
return true;
}
// Otherwise, return false
return false;
}
// Driver Code
// Input
var adj = [ [ 0, 1, 1, 1, 0 ],
[ 1, 0, 1, 0, 1 ],
[ 1, 1, 0, 1, 1 ],
[ 1, 0, 1, 0, 0 ] ];
var N = adj.length;
// Function Call
if (Hamiltonian_path(adj, N))
document.write( "YES");
else
document.write( "NO");
</script>
Producción:
YES
Complejidad de Tiempo: O(N * 2 N )
Espacio Auxiliar: O(N * 2 N )
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ramandeep8421 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA