Conocemos curvas básicas como una línea y sus diversas formas de ecuaciones. Pero todos los días también encontramos diferentes tipos de algunos, por ejemplo: círculo, parábola, hipérbola, etc. Estas curvas se conocen como secciones cónicas porque se pueden cortar de un cono. Estas curvas tienen una gama muy amplia de aplicaciones y se observan mucho en la naturaleza. Veamos cómo cortarlos de un cono y cuáles son sus ecuaciones.
Secciones cónicas
Una sección cónica, también conocida como ‘cónica’, es un plano que se cruza con un cono. Imagine un cono que se corta con un cuchillo en diferentes lugares creando diferentes tipos de curvas, que se conocen como secciones cónicas. Las tres secciones cónicas principales obtenidas son parábola, hipérbola y elipse (un círculo puede denominarse un tipo de elipse).
Digamos que tomamos una línea vertical fija. Lo llamaremos “l”. Ahora haz otra línea en un ángulo constante α desde esta línea.
Ahora, si comenzamos a rotar la línea m alrededor de l manteniendo el ángulo igual. Obtendremos un cono que se extiende hasta el infinito en ambas direcciones.
La línea giratoria se llama generador del cono. La línea vertical es el eje del cono. V es el vértice, separa el cono en dos partes llamadas siestas.
Ahora bien, cuando tomamos la intersección del cono generado con un plano, la sección obtenida se llama sección cónica.
Esta intersección genera diferentes tipos de curvas dependiendo del ángulo del plano que intersecta con el cono.
Secciones cónicas generadas
Dependiendo de los diferentes ángulos en los que el plano se cruza con el Cono, se encuentran diferentes tipos de curvas. Imagina que tienes un cono de helado en las manos, mirar el cono desde la parte superior hará que se vea como un círculo porque la vista superior de un cono invertido es un círculo, eso da la conclusión de que cortar un cono con un plano exactamente a 90° proporcionará un círculo. Del mismo modo, diferentes ángulos darán lugar a diferentes tipos de curvas.
Veamos que el plano forma un ángulo β con el eje vertical. Dependiendo del valor del ángulo puede haber varias curvas de intersecciones.
1. Si β = 90°. Obtenemos un círculo.
2. Si β se encuentra entre (α, 90°). Obtenemos una elipse.
3. Si β = α. La forma generada se llama parábola.
4. Si β se encuentra en el intervalo [0, α]. La forma generada se llama hipérbola.
Circulo
Se genera un círculo cuando el plano se cruza con el cono en ángulo recto. Como se muestra en la figura de arriba, veámoslo y definámoslo de una manera más matemática,
Una circunferencia es un conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia se llama radio.
O es el centro del círculo y la línea que une el centro al círculo denota el radio del círculo. Ahora vamos a derivar la ecuación para el círculo.
Ecuación del Círculo
Digamos que el centro del círculo está dado por C(h, k) y su radio es “r”. Si asumimos que P(x, y) es cualquier punto del círculo, entonces, según la definición anterior, la distancia de P a C debe ser “r”.
Esta es la ecuación del círculo cuando se dan el centro y el radio.
Veamos algunos ejemplos de problemas sobre estos conceptos.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra la ecuación de un círculo que tiene un centro de (0,0) y un radio es 5.
Solución:
Hemos estudiado la fórmula de la ecuación del círculo.
(xh) 2 + (y – k) 2 = r 2
Solo necesitamos conectar los valores en la fórmula.
Aquí, h = 0, k = 0 y r = 5
(x – 0) 2 + (y – 0) 2 = 5 2
⇒x 2 + y 2 = 5 2
⇒x2 + y2 = 25
Pregunta 2: Encuentra la ecuación del círculo con centro (-4, 5) y radio 4.
Solución:
La fórmula para la ecuación del círculo.
(xh) 2 + (y – k) 2 = r 2
Solo necesitamos conectar los valores en la fórmula.
Aquí, h = -4, k = 5 y r = 4
(x – (-4)) 2 + (y – 5) 2 = 5 2
⇒(x+ 4) 2 + (y – 5) 2 = 25
⇒x 2 + 16 + 8x + y 2 + 25 – 10y = 25
⇒x 2 + 8x + y 2 -10y + 16= 0
Pregunta 3: La ecuación dada a continuación es una ecuación del círculo, encuentra el radio y el centro.
x2 + 6x + y2 – 4y = 3
Solución:
Nos dan la ecuación, ahora a averiguar el radio y el centro. Necesitamos reorganizar la ecuación de modo que esta ecuación pueda tener la forma que se muestra a continuación.
(xh) 2 + (y – k) 2 = r 2
x2 + 6x + y2 – 4y = 3
⇒ x2 + ( 2 )(3)x + y2 – 2 (2)y = 3
Podemos ver que estas ecuaciones se pueden separar en dos cuadrados perfectos.
⇒ x2 + ( 2 )(3)x + 9 – 9 + y2 – 2 (2)y + 4 – 4 = 3
⇒ (x + 3) 2 – 9 + (y – 2) 2 – 4 = 3
⇒ (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 3 + 4 + 9
⇒ (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 16
⇒ (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 4 2
Ahora comparando esta ecuación con la ecuación estándar del círculo, notamos,
h = -3, k = 2 y radio = 4.
Pregunta 4: Encuentra la ecuación del círculo, con centro (-h,-k) y radio 
Solución:
La ecuación estándar del círculo está dada por,
(xh) 2 + (y – k) 2 = r 2
Aquí, tenemos h = -h y k = -k y radio = . Poner estos valores en la ecuación.
Pregunta 5: Digamos que nos dan una línea x + y = 2 y un círculo que pasa por los puntos (2,-2) y (3,4). También se da que el centro del círculo se encuentra en la línea. Halla el radio y el centro del círculo.
Solución:
Digamos que la ecuación del círculo es,
(xh) 2 + (y – k) 2 = r 2
Ahora sabemos que el centro del círculo se encuentra en la línea x + y = 2. Dado que el centro del círculo es (h, k), debería satisfacer esta línea.
h + k = 2
Poner el valor de h de esta ecuación en la ecuación del círculo.
(x-(2 – k)) 2 + (y – k) 2 = r 2
Ahora también sabemos que el círculo satisface los puntos (2, -2) y (3,4). Poniendo (2,-2) en la ecuación anterior.
(2-(2 – k)) 2 + (-2 – k) 2 = r 2
⇒ k 2 + (k + 2) 2 = r 2
⇒ k2 + k2 + 4 + 4k = r2
⇒ 2k 2 + 4 + 4k = r 2 …..(1)
Poniendo la ecuación (3,4) es,
(x-(2 – k)) 2 + (y – k) 2 = r 2
⇒ (3-(2 – k)) 2 + (4 – k) 2 = r 2
⇒(1 – k) 2 + (4 – k) 2 = r 2
⇒ k 2 -2k + 1 + 16 -8k + k 2 =r 2
⇒ 2k 2 -10k + 17 =r 2 ……(2)
Resolviendo estas ecuaciones obtenemos,
h = 0,7, k = 1,7 y r2 = 12,58
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA