sen (z) = 2, ¿hay alguna raíz posible para z?

Surge la pregunta de si existe alguna raíz posible para z si sen (z) = 2. La primera respuesta que viene a la mente es que tales raíces no son posibles, ya que 

-1 ≤ sin θ ≤ 1

Pero si profundizamos, encontraremos que aunque no son posibles raíces reales para z, solo son posibles raíces imaginarias (o complejas) .

Entonces, encontremos la solución:

Según la forma de Euler :

eiθ = cosθ + i*sinθ
 where, e = base of the natural logarithm
        i = imaginary part , ( i = √(-1) )
        θ = the angle in radian

Entonces, en la fórmula anterior, sustituya ∅ = z

Entonces, la ecuación se convierte en

e ^iz = cos z + i sen z —–( i )

Ahora, pon z = -z

e ^i(-z) = cos(-z) + i sin(-z)

e ^-iz = cos z – i sin z —–( ii )      [ cos(-θ) = cosθ , sin(-θ) = -sinθ ]

Ahora, restando la ecuación (i) por (ii)

e ^iz – e ^-iz = (cos z + i sen z) – (cos z – i sen z)

e ^iz – e ^-iz = 2i sen z

e ^iz – e ^-iz = 2i *(2)                                         [ Ya que, sen z = 2 (dado) ]

e ^iz – 1/e ^iz = 4i

Multiplicando ambos lados de la ecuación por e ^iz

e ^2(iz) – 1 = 4i e ^iz

e ^2(iz) – 4i e ^iz – 1 = 0

Ahora, sea y = e ^iz

y ² – 4iy – 1 = 0

Ahora, para encontrar las raíces de y en la ecuación cuadrática anterior, aplicamos la fórmula de Dharacharya, que dice:

A quadratic equation of the form ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
then roots of x are, x = (-b ± √(b2-4ac)/2a

Entonces, aplicando la fórmula Dharacharya en la ecuación anterior,

y = ( 4i ± √(16i ² + 4 ) ) / 2

y = ( 4i ± √(-16 + 4 ) ) / 2                          [i ² = -1]

y = ( 4i ± √(-12) ) / 2

y = ( 4i ± 2√3i ) / 2                                     [√(-12) = √(-1*12) = √(-1)*√12) = i * 2√3, ya que √(-1) = i ]

y = 2i ± √3i

Ahora, volviendo a poner el valor de y = e ^iz en la ecuación anterior

e ^iz = 2i ± √3i

mi ^iz = yo * (2 ± √3)

Ahora, tomando log(ln) en ambos lados

iz = ln(i) + ln(2 ± √3) —–( iii )      [ln(e ^a ) = a, y ln(a*b) = ln(a) + ln(b)]

Ahora, para resolver ln(i), tenemos que entender el siguiente concepto:

In polar representation of complex numbers, we write z = reiθ, where
z = a + ib, 
r = |a2 + b2| 
θ = tan-1(b/a),
So, taking log on both sides of the equation z = reiθ  
ln(z) = ln(r) + iθ             [ln(ea) = a, and ln(a*b) = ln(a) + ln(b)]
Putting the value of z, r and θ in the above equation
ln(a+ib) = ln(|a2 + b2|) + i*tan-1(b/a)

Entonces, escribiendo ln(i) = ln(0 + 1i), y aplicando la fórmula anterior

ln(0+1i) = ln( |0 ² + 1 ² | ) + i*tan ^-1 (1/0)

ln(i) = ln1 + i*∏/2 [ tan ^-1 (1/0) = tan ^-1 (∞) = ∏/2 ]

ln(i) = i*∏/2 [ ln1 = 0 ]

Ahora poniendo el valor de ln(i) en la ecuación (iii)

iz = i*∏/2 + ln(2 ± √3)

Dividiendo ambos lados de la ecuación por i

z = ∏/2 + ln(2 ± √3)/i

z = ∏/2 + ( ln(2 ± √3) * i )/ ( i * i) [Dividiendo numerador y denominador por i]

z = ∏/2 – yo * ln(2 ± √3) [i ² = -1]

z = ∏/2 – i * ln(2 ± √3)

Entonces, tenemos una raíz compleja, pero hay más,

as sin (θ ± 2n∏) = sin θ , n = 1,2,3,..

Asi que,

z = ∏/2 – i * ln(2 ± √3) ± ​​2n∏ , n = 1,2,3,….

Por lo tanto, ahora obtenemos que para sen(z) = 2, existen infinitas raíces complejas de z.