Suma de Riemann – Barcelona Geeks

Las integrales definidas son una parte importante del cálculo. Se utilizan para calcular áreas, volúmenes, etc. de formas arbitrarias para las que no se han definido fórmulas. Analíticamente son solo integrales indefinidas con límites encima de ellas, pero gráficamente representan el área bajo la curva. Los límites denotan los límites entre los cuales se debe calcular el área. Estos conceptos tienen mucha importancia en el campo de la ingeniería eléctrica, robótica, etc. Para definir integrales se utilizan sumas de Riemann en las que calculamos el área bajo cualquier curva utilizando rectángulos infinitesimalmente pequeños. Veamos esta interpretación de integrales definidas en detalle.

Aproximación de Riemann

Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área bajo la curva. La intuición detrás de esto es que, si dividimos el área en rectángulos muy pequeños, podemos calcular el área de cada rectángulo y luego sumarlos para encontrar el área de la región total. Esta es la misma intuición que la intuición detrás de las integrales definidas. Entonces, estas sumas también se pueden usar para aproximar y definir las integrales definidas. Las integrales definidas no son más que integrales con límites, se utilizan para encontrar áreas, volúmenes, etc. bajo formas de curvas arbitrarias. Considere la siguiente figura, el objetivo es calcular el área encerrada por esta curva entre x = a y x = b y el eje x.

Ahora comencemos dividiendo el área dada en varios rectángulos, asumiendo que el área se divide en ‘n’ rectángulos de igual ancho. Observe que estos rectángulos no cubren el área completa, por lo que es una aproximación del área. Pero a medida que aumenta el número de rectángulos, la aproximación se acerca cada vez más al área real.

En la notación integral definida, esta área se representará como,

$\int^{b}_{a}f(x)dx$

Esta área se puede aproximar dividiendo el área bajo la curva en n rectángulos de igual tamaño. Entonces, el intervalo [a, b] se divide en n-subintervalos definidos por los puntos.

a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < …. x _n-2 < x _n-1 < x _n = segundo

Entonces, los n intervalos son,

[x ₀ , x ₁ ], [x ₁ , x ₂ ], …. [x _n-1 , x _n ]

Entonces, para el i ^-ésimo rectángulo, el ancho será [x _i-1 , x _i ].

El área del i ^-ésimo rectángulo A _i = f(x _i )(x _{i —} x _i-1 )

Entonces, el área total será $\sum^{n}_{i = 1}A_{i}$

Esta suma se llama suma de Riemann . Dado que la altura del rectángulo está determinada por el límite derecho del intervalo, esto se denomina suma de Riemann por la derecha . La siguiente figura muestra la suma de Riemann por la izquierda .

Notación de suma

Se deben seguir los pasos que se dan a continuación para encontrar la notación de suma de la integral de Riemann.

Paso 1: Averigüe el ancho de cada intervalo. Denotemos el ancho del intervalo con $\Delta x$

Paso 2: Sea x _i el extremo derecho del rectángulo x _i = a + $\Delta x$ .i

Paso 3: Defina el área de cada rectángulo.

Paso 4: Suma las áreas

Digamos que el objetivo es calcular el área bajo la gráfica de la función f(x) = x ³ , el área se calculará entre los límites x = 0 a x = 4.

Divide el intervalo en cuatro partes iguales, los intervalos serán [0, 1], [1, 2], [2, 3] y [3, 4].

Entonces, la suma de Riemann se puede escribir de la siguiente manera,

A(1) + A(2) + A(3) + A(4) = $\sum^{4}_{i=1}A_{i}$

Calculemos la suma correcta Suma de Riemann . Suponga que x _i denota el extremo derecho del i ^-ésimo rectángulo.

Entonces, la fórmula para x _i = i. Ahora, el valor de la función en estos puntos se convierte en,

f(x _yo ) = (i) ³

Entonces, A(i) = (alto)(ancho)

= (yo) ³

La suma de Riemann se convierte en,

A(1) + A(2) + A(3) + A(4) = $\sum^{4}_{i=1}A_{i}$

⇒ A(1) + A(2) + A(3) + A(4) = $\sum^{4}_{i=1}i^3$

Entonces, de esta manera, casi todas las sumas de Riemann se pueden representar en una notación sigma.

Resolvamos algunos problemas con estos conceptos.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Elija qué tipo de integral de Riemann se muestra a continuación en la figura.

Suma de Riemann izquierda
Suma de Riemann por la derecha
Suma de Riemann del punto medio

Solución:

Dado que los valores de los intervalos se deciden de acuerdo con el punto extremo izquierdo del intervalo. Esta es una suma de Riemann izquierda

Respuesta 1).

Pregunta 2: Calcule la Suma de Riemann por la izquierda para la función dada en la figura anterior.

Solución:

Dividiendo el intervalo en cuatro partes iguales que es n = 4. El ancho de cada intervalo será,

$\Delta x = \frac{8 - 0}{n} = \frac{8 - 0}{4} = 2$

x ₀ = 0, x ₁ = 1, x ₂ = 2, x ₃ = 0 y x ₄ = 0

El valor de la función en cada intervalo será el valor de la función en el extremo derecho del intervalo.

$A = \sum^{n}_{i = 1}f(x_i)\Delta x$

⇒A = $f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + f(x_3)\Delta x + f(x_4)\Delta x$

⇒A = $f(1)\Delta x + f(2)\Delta x + f(3)\Delta x + f(4)\Delta x$

⇒A = f(1)(2) + f(2)(2)+ f(3)(2) + f(4)(2)

⇒A = (f(1) + f(2) + f(3)+ f(4))(2)

⇒A = (1 + 2 + 3+ 4)(2)

⇒A = (10)(2)

⇒ A = 20

Pregunta 3: Considere una función f(x) = 5 – 2x, su área se calcula a partir de la suma de Riemann de x = 0 a x = 4, el área total se divide en 4 rectángulos. Encuentre la suma de Riemann en notación sigma

Responder:

Paso (i): Calcular el ancho

La longitud total se divide en 4 partes iguales,

x _i = 0 y x _l = 4,

El ancho de un intervalo viene dado por = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Donde x _i = punto inicial, y x _l – último punto y n= número de partes

norte = 4

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{4 - 0}{4} \\ = 1$

Paso (ii):

un = 0,

x _yo = 0 + $\Delta x$ yo

⇒ x _yo = yo

Paso (iii):

A _i = Alto x Ancho

= f(x _i ) $\Delta x$

= (5 – 2i)(1)

= 5 – 2i

Área total = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) + A(5)

= $\sum^{5}_{i=1}5 - 2i$

Pregunta 4: Considere una función f(x) = x ² , su área se calcula a partir de la suma de Riemann de x = 0 a x = 3, el área total se divide en 3 rectángulos. Encuentre la suma de Riemann en notación sigma

Responder:

Paso (i): Calcular el ancho

La longitud total se divide en 3 partes iguales,

x _i = 0 y x _l = 3,

El ancho de un intervalo viene dado por = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Donde x _i = punto inicial, y x _l – último punto y n= número de partes

norte = 3

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{3 - 0}{3} \\ = 1$

Paso (ii) :

un = 0,

x _yo = 0 + $\Delta x$ yo

⇒ x _yo = yo

Paso (iii)

A _i = Alto x Ancho

= f(x _i ) $\Delta x$

= (yo ² )

Área total = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) + A(5)

= $\sum^{5}_{i=1}i^2$

Pregunta 5: Considere una función f(x) = √x, su área se calcula a partir de la suma de Riemann de x = 0 a x = 4, el área total se divide en 4 rectángulos. Encuentre la suma de Riemann en notación sigma

Responder:

Paso (i): Calcular el ancho

La longitud total se divide en 4 partes iguales,

x _i = 0 y x _l = 4,

El ancho de un intervalo viene dado por = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Donde x _i = punto inicial, y x _l – último punto y n= número de partes

norte = 4

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{4 - 0}{4} \\ = 1$

Paso (ii):

un = 0,

x _yo = 0 + $\Delta x.$ yo

⇒ x _yo = yo

Paso (iii)

A _i = Alto x Ancho

= f(x _i ) $\Delta x$

= (√i)(1)

= √i

Área total = A(1) + A(2) + A(3) + A(4)

= $\sum^{4}_{i=1}\sqrt{i}$

Pregunta 6: Considere una función f(x) = x ² , su área se calcula a partir de la suma de Riemann de x = 0 a x = 2, el área total se divide en 2 rectángulos. Encuentre la suma de Riemann en notación sigma

Responder:

Paso (i): Calcular el ancho

Toda la longitud se divide en 2 partes iguales,

x _i = 0 y x _l = 2,

El ancho de un intervalo viene dado por = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Donde x _i = punto inicial, y x _l – último punto y n= número de partes

norte = 2

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{2 - 0}{2} \\ = 1$

Paso (ii):

un = 0,

x _yo = 0 + $\Delta x$ yo

⇒ x _yo = yo

Paso (iii):

A _i = Alto x Ancho

= f(x _i ) $\Delta x$

= (yo ² )(1)

= yo ²

Área total = A(1) + A(2) + A(3) + A(4)

= $\sum^{4}_{i=1}i^2$

Pregunta 7: Considere una función f (x) = 3 (x + 3), su área se calcula a partir de la suma de Riemann de x = 0 a x = 6, el área total se divide en 6 rectángulos. Encuentre la suma de Riemann en notación sigma

Responder:

Paso (i): Calcular el ancho

La longitud total se divide en 4 partes iguales,

x _i = 0 y x _l = 6,

El ancho de un intervalo viene dado por = $\frac{x_{l} -x_{i}}{n}$

Donde x _i = punto inicial, y x _l – último punto y n= número de partes

norte = 6

$\Delta x = \frac{x_l - x_i}{n} \\ = \frac{6 - 0}{6} \\ = 1$

Paso (ii):

un = 0,

x _yo = 0 + $\Delta x$ yo

⇒ x _yo = yo

Paso (iii):

A _i = Alto x Ancho

= f(x _i ) $\Delta x$

= (3(yo + 3))(1)

= 3(yo + 3)

Área total = A(1) + A(2) + A(3) + A(4)

= $\sum^{4}_{i=1}3(i + 3)$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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