Tangente a un círculo – Círculos | Clase 10 Matemáticas

Tangente a un círculo es una línea recta que toca el círculo en cualquier punto o solo en un punto del círculo, ese punto se llama tangencia. En el punto de tangencia, la tangente del círculo será perpendicular al radio del círculo. En la siguiente figura, PQ es la tangente al círculo y un círculo puede tener infinitas tangentes.

• De las figuras anteriores, PQ es la tangente.
• Las dos tangentes se pueden dibujar paralelas a una secante que se puede dibujar en un círculo

Nota: Un círculo puede tener un número infinito de tangentes.

Una tangente se puede dibujar entre dos círculos de dos maneras. Están

Externamente

Una tangente externa se puede dibujar entre dos círculos de una manera

• Podemos nombrar la tangente superior como AB
• Y tangente inferior como CD

Ejemplo: AB es la tangente común a los círculos O, P. Encuentre la longitud de AB.

Solución: 

AB es una tangente, 
dibuja una línea paralela a AB como se muestra a continuación 
 

El punto en OA se puede asumir como Q 

Ahora POQ forma un triángulo rectángulo como se muestra a continuación 
Entonces, 1 ² + B ² = 3 ² 
B ² = 9 – 1 
B ² = 8 
B = √8 cm

entonces la longitud de AB es 2√8 cm 
 

Internamente

Si las tangentes de dos circunferencias se cortan en un punto común se llama tangentes internas. Tenemos cuatro casos para tangentes internas

Caso 1 

Si los dos círculos se tocan en un solo punto, uno dentro del otro, solo hay una línea que es tangente a ambos.

Ejemplo: si el radio del círculo grande es de 6 cm y el del círculo pequeño es de 3 cm, encuentre la distancia perpendicular más corta desde la tangente común a 2 círculos. 

Solución:

Dado r1 = 6 cm, r2 = 3 cm 

Para el círculo grande,
la distancia más corta es 

y ² = 3 ² + 3 ²  

y ² = 9 + 9 

y = √18 

para círculo pequeño, la distancia más corta es 

x ² = 6 ² + 6 ² 

x2 = ³⁶ + 36 

X = √72 

Por lo tanto, la distancia más corta desde la tangente donde roza y hasta la perpendicular a la parte superior del círculo.  

Caso 2

Una tangente de dos círculos es una tangente interna común. La intersección de la tangente y el segmento de línea que une los centros no está vacía.

Por ejemplo, la línea AB tangentes internas comunes.

Ejemplo: Encuentra el número de tangentes comunes a los círculos x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 y x2 + y2 + 6x + 18y + 26 = 0. 

Solución:

La ecuación del círculo pequeño es x ² + y ² − 4x − 6y − 12 = 0 y la ecuación del círculo grande es x ² + y ² + 6x + 18y + 26 = 0.

Los centros de los círculos son C1 (2, 3) y C2 (−3, −9) y sus radios son r1 = 5 y r2 = 8 Obviamente, r1 + r2 = C1C2, es decir, los círculos se tocan entre sí externamente. 

Por lo tanto, hay tres tangentes comunes. 
 

Caso 3 

En caso de que las tangentes de dos círculos se corten en un punto que podemos nombrar como O

• AB es la tangente común
• CD también una tangente común
• Estas dos tangentes AB, CD se cortan en un punto.

Ejemplo: Ecuaciones dadas de 2 tangentes con ecuaciones x + 2y + 1 = 0 y 2x + 3y + 5 = 0. Verifique si las tangentes se 
intersecarán o no. 

Solución: 

Primero comprobando las pendientes de dos tangentes. 

1ra ecuación = pendiente = – y/x = -2 /1 

2da ecuación = pendiente = – y/x = -3 /2 

Por lo tanto, no hay pendientes, por lo que las tangentes se intersecarán. 
 

Nota 1: El conjunto de círculos no puede tener tangentes internas y externas comunes.

Nota 2: si un círculo está dentro de otro círculo, entonces no podemos dibujar una tangente. Se mostró a continuación

La recta que corta dos puntos de la circunferencia se conoce como secante. (o) La línea que corta el círculo en dos puntos distintos se llama secante

• De la figura anterior, AB es la secante al círculo
• En la figura de arriba los puntos A y B, dos puntos distintos que cortan el círculo.
• La secante corta el círculo en cualquier dirección.
• La secante incluso se puede dibujar desde fuera del círculo.

Ejemplo 1: Describe las tangentes y secantes de la figura dada 

Solución: 

De acuerdo con la figura anterior, 

AB es una tangente. 

CD es la secante. 

EF es la tangente. 

GH es la secante. 

IJ es la tangente 
 

Ejemplo 2: Enumere el número de tangentes y secantes de la figura dada 

Solución: 

De la figura, 

tenemos 3 tangentes, es decir, AB, EF, IJ. 

Y tenemos 2 secantes, es decir, CD, GH. 

 

La línea que divide un círculo en dos mitades se llama cuerda. (o) Los dos puntos distintos que dividen el círculo en dos partes iguales llamados cuerda.

• De la figura, el CD es la cuerda del círculo.
• La cuerda toca los dos puntos del círculo, los dos puntos son CD desde arriba.
• La cuerda se encuentra dentro del círculo.

Teorema 

La Tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio.

Prueba

Demostrar: OP perpendicular a AB

• Aquí O es el centro del círculo.
• AB es la tangente a la circunferencia de centro O.
• P es el punto de tangencia.
• Sea Q un punto sobre la tangente AB.
• Dibuja una línea imaginaria desde el punto O hasta el Q que toca el círculo en R.

• Como OQ > OP
• OQ = O + RQ.
• OP < O + RQ.
• Así mismo será el caso con todos los demás puntos en la tangente
• Por lo tanto, OP es la línea más pequeña que conecta la tangente AB.
• Sabemos que la recta más pequeña siempre es perpendicular. Por lo tanto, OP es perpendicular a AB

Ejemplos de problemas sobre la tangente a un círculo

Problema 1: RA y RB son dos tangentes a la circunferencia de 6 cm de radio. ¿Encuentra la longitud del arco ACB?

Solución: 

Paso 1: Escriba todos los valores dados en la pregunta.

RA y RB son dos tangentes.

Radio r = 6.

Paso 2: Escriba el grado del ángulo entre las dos tangentes RA y RB, si no se proporciona el ángulo predeterminado entre las dos tangentes es de 60 grados.

Ahora el ángulo entre RA y RB es de 60 grados

Paso 3: Trate de extender la línea desde el punto A al O y B al O debe hacer 90 ⁰ con la tangente.

forma un cuadrilátero.

Paso 4: Aplicar las reglas de un cuadrilátero para encontrar el ángulo entre AOB.

aquí RAOB será un cuadrilátero. Entonces, R ^o + A ^o + B ^o + AOB ^o  = 360 ⁰

                                                            60 ^o + 90 ^o + 90 ⁰  + AOB ⁰ = 360 ⁰

                                                              AOB ⁰ = 360 ⁰ – 240 ⁰

                                                                                  AOB ⁰ = 120 ⁰

Nota: A ^o = B ^o = 90 ^o  Como A, B son perpendiculares a las tangentes RA y RB.

Paso 5: Ahora necesitamos encontrar la longitud de ARC usando la siguiente fórmula

Longitud del arco = (ángulo/360) * radio

Obtenemos = (120 / 360) * 6

             = (1.9) = 2

por lo tanto, la longitud del arco ACB es de 2 cm.

Problema 2: RA y RB son dos tangentes a la circunferencia de 9 cm de radio. ¿Encuentra la longitud del arco ACB?  

Solución: 

Dados RA y RB son dos tangentes.

Radio r = 6, supongamos que el punto donde dos tangentes es R

Y el ángulo entre dos tangentes RA y RB es 30 ⁰

Extienda la línea desde el punto A al O y B al O, debe hacer 90 ⁰ con la tangente.

Forma un cuadrilátero como el anterior.

Aquí RAOB será un cuadrilátero Entonces, R ^o + A ^o + B ^o + AOB ^o  = 360 ⁰ .

                                                           30 ^o + 90 ^o + 90 ⁰  + AOB ⁰ = 360 ⁰

                                                            AOB ⁰ = 360 ⁰ – 210 ⁰

                                                            AOB ⁰ = 150 ⁰

Nota: A ^o = B ^o = 90 ^o  ya que A, B son perpendiculares a las tangentes RA y RB.

Longitud del arco = (ángulo/360) * radio

Obtenemos = (150 / 360) * 9

            = (3,75) = 4cm

Problema 3: Encuentra el valor de x de la figura dada.

Solución : 

Dado A es tangente (de la figura)

al usar las propiedades del triángulo de ángulo recto podemos encontrar el valor de x

es decir, A ² + B ² = C ²

A = 16 cm, B = x cm, C = 25 cm

(16) ² + (x) ² = (25) ²

256 + (x) ²   = 625

(x) ² = 625 – 256

(x) ² = 369

Echando raíces en ambos lados

√(x) ² = √369 (el cuadrado y la raíz se cancelan)

obtenemos, x = 3√41cm.