Teorema de Arden en Teoría de la Computación – Part 1

El teorema de Arden establece que:
«Si P y Q son dos expresiones regulares sobre  $\sum_, y si P no contiene  $\epsilon_, entonces la siguiente ecuación en R dada por R = Q + RP tiene una solución única, es decir, R = QP*».
Eso significa que, siempre que obtengamos una ecuación en la forma de R = Q + RP, podemos reemplazarla directamente por R = QP*. Entonces, aquí primero probaremos que R = QP* es la solución de esta ecuación y luego también probaremos que es la única solución de esta ecuación.

Comencemos tomando esta ecuación como ecuación (i)

R = Q + RP  ......(i)

Ahora, reemplazando R por R = QP*, obtenemos,

R = Q + QP*P 

Tomando Q como común,

R = Q( $\epsilon_ + P*P)
R = QP*  

(Como sabemos que  $\epsilon_+ R*R = R*). Por lo tanto probado.

Así, R = QP* es la solución de la ecuación R = Q + RP.

Ahora, tenemos que demostrar que esta es la única solución de esta ecuación. Déjame tomar esta ecuación de nuevo:

R = Q + RP

Ahora, reemplaza R por R = Q + RP,

R = Q + (Q + RP)P
  = Q + QP + RP^2 

Nuevamente, reemplace R por R = Q + RP: –

R = Q + QP + (Q + RP) P^2
  = Q + QP + QP^2 + RP^3
  = ...
  = ...
  =  Q + QP + QP^2 + .. + QP^n + RP^{(n+1)} 

Ahora, reemplazando R por R = QP*, obtenemos,

R = Q + QP + QP^2 + .. + QP^n + QP*P^{(n+1)} 

Tomando Q como común,

R = Q( $\epsilon_ + P + P^2 + .. + P^n + P*P^{(n+1)})
  = QP*    [As  $\epsilon_ + P + P^2 + .. + P^n + P*P^{(n+1)} represent 
          the closure of P] 

Por lo tanto probado.

Así, R = QP* es la única solución de la ecuación R = Q + RP.

Para entender este teorema, resolveremos un ejemplo:

Ejemplo –

q1 = q1.0  +  $\epsilon_
q2 = q1.1 + q2.0
q3 = q2.1 + q3.0 + q3.1 

Ahora,

q1 =  $\epsilon_ + q1.0
q1 =  $\epsilon_.0*    [By Arden's theorem]
q1 = 0*      [ $\epsilon_R = R]

.'. q2 = 0*1 +q2.0
    q2 = 0*10*    

[Aplicando el teorema de Arden]. Por lo tanto, el valor de q2 es 0*10*.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por SUDIPTADANDAPAT y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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