El teorema de Arden establece que:
«Si P y Q son dos expresiones regulares sobre , y si P no contiene , entonces la siguiente ecuación en R dada por R = Q + RP tiene una solución única, es decir, R = QP*».
Eso significa que, siempre que obtengamos una ecuación en la forma de R = Q + RP, podemos reemplazarla directamente por R = QP*. Entonces, aquí primero probaremos que R = QP* es la solución de esta ecuación y luego también probaremos que es la única solución de esta ecuación.
Comencemos tomando esta ecuación como ecuación (i)
R = Q + RP ......(i)
Ahora, reemplazando R por R = QP*, obtenemos,
R = Q + QP*P
Tomando Q como común,
R = Q( + P*P) R = QP*
(Como sabemos que + R*R = R*). Por lo tanto probado.
Así, R = QP* es la solución de la ecuación R = Q + RP.
Ahora, tenemos que demostrar que esta es la única solución de esta ecuación. Déjame tomar esta ecuación de nuevo:
R = Q + RP
Ahora, reemplaza R por R = Q + RP,
R = Q + (Q + RP)P = Q + QP + R
Nuevamente, reemplace R por R = Q + RP: –
R = Q + QP + (Q + RP) = Q + QP + Q + R = ... = ... = Q + QP + Q + .. + Q + R
Ahora, reemplazando R por R = QP*, obtenemos,
R = Q + QP + Q + .. + Q + QP*
Tomando Q como común,
R = Q( + P + + .. + + P*) = QP* [As + P + + .. + + P* represent the closure of P]
Por lo tanto probado.
Así, R = QP* es la única solución de la ecuación R = Q + RP.
Para entender este teorema, resolveremos un ejemplo:
Ejemplo –
q1 = q1.0 + q2 = q1.1 + q2.0 q3 = q2.1 + q3.0 + q3.1
Ahora,
q1 = + q1.0 q1 = .0* [By Arden's theorem] q1 = 0* [R = R] .'. q2 = 0*1 +q2.0 q2 = 0*10*
[Aplicando el teorema de Arden]. Por lo tanto, el valor de q2 es 0*10*.
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Artículo escrito por SUDIPTADANDAPAT y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA