Teorema de Bayes para la probabilidad condicional

Recomendamos encarecidamente consultar la publicación a continuación como requisito previo para esto.

Fórmula de Bayes
A continuación se muestra la fórmula de Bayes.
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

La fórmula proporciona la relación entre P(A|B) y P(B|A). Se deriva principalmente de la fórmula de probabilidad condicional discutida en la publicación anterior .
Considere las siguientes fórmulas para las probabilidades condicionales P(A|B) y P(B|A)
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ —-(1)

$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$ —-(2)

Como P(B ∩ A) = P(A ∩ B), podemos reemplazar P(A ∩ B) en la primera fórmula con P(B|A)P(A)

Después de reemplazar, obtenemos la fórmula dada.

Regla del producto

La regla del producto establece que

$\begin{equation*} P(X \cap Y) = P(X|Y)*P(Y) \end{equation*}$

Entonces, la probabilidad conjunta de que ocurran tanto X como Y es igual al producto de dos términos:

De la regla del producto:
$X \subseteq Y$ implica P(X|Y) = P(X)/P(Y)
$Y \subseteq X$ implica P(X|Y) = 1

String de reglas

Cuando la regla del producto anterior se generaliza, llevamos a la regla de la string. Sean $E_{1}, E_{2},....E_{n}$ n eventos. Entonces, la probabilidad conjunta viene dada por

$\begin{equation*} P(\bigcap_{i=1,..,n}E_{i}) = P(E_{n}|\bigcap_{i=1,..,n-1}E_{i})*P(\bigcap_{i=1,..,n-1}E_{i}) \end{equation*}$

Teorema de Bayes

De la regla del producto, $P(X \cap Y) = P(X|Y)P(Y)$ y $P(Y \cap X) = P(Y|X)P(X)$ . Como $P(X \cap Y)$ y $P(Y \cap X)$ son iguales.

$\begin{equation*} P(Y|X) = \frac{P(X|Y)*P(Y)}{P(X)} \end{equation*}$

donde $P(X) = P(X \cap Y) + P(X \cap Y^{c})$ _

Ejemplo: la caja P tiene 2 bolas rojas y 3 bolas azules y la caja Q tiene 3 bolas rojas y 1 bola azul. Una pelota se selecciona de la siguiente manera:

(i)  Select a box
(ii) Choose a ball from the selected box such that each ball in
     the box is equally likely to be chosen. The probabilities of
     selecting boxes P and Q are (1/3) and (2/3), respectively.

Dado que una bola seleccionada en el proceso anterior es una bola roja, la probabilidad de que provenga de la caja P es (GATE CS 2005)
(A) 4/19
(B) 5/19
(C) 2/9
(D) 19/30

Solución:

R --> Event that red ball is selected
B --> Event that blue ball is selected
P --> Event that box P is selected
Q --> Event that box Q is selected

We need to calculate P(P|R)?


P(R|P) = A red ball selected from box P
       = 2/5
P(P) = 1/3
P(R) = P(P)*P(R|P) + P(Q)*P(R|Q)
     = (1/3)*(2/5) + (2/3)*(3/4)
     = 2/15 + 1/2
     = 19/30

Putting above values in the Bayes's Formula
P(P|R) = (2/5)*(1/3) / (19/30)
       = 4/19

Ejercicio Una empresa compra el 70% de sus computadoras a la empresa X y el 30% a la empresa Y. La empresa X produce 1 computadora defectuosa por cada 5 computadoras y la empresa Y produce 1 computadora defectuosa por cada 20 computadoras. Una computadora se encuentra defectuosa ¿cuál es la probabilidad de que haya sido comprada a la empresa X?

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Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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