Teorema del consenso en lógica digital

Requisito previo: propiedades del álgebra booleana , minimización de funciones booleanas

El teorema de redundancia se utiliza como un truco de álgebra booleana en electrónica digital. También se conoce como Teorema del Consenso:

  AB + A'C + BC = AB + A'C

El consenso o resolutor de los términos AB y A’C es BC. Es la conjunción de todos los literales únicos de los términos, excluyendo el literal que aparece no negado en un término y negado en el otro.

El dual conjuntivo de esta ecuación es:

(A+B).(A'+C).(B+C) = (A+B).(A'+C)

En la segunda línea, omitimos el término del tercer producto BC. Aquí, el término BC se conoce como término redundante. De esta forma usamos este teorema para simplificar el Álgebra Booleana. Las condiciones para aplicar el teorema de redundancia son:

1. Deben presentarse tres variables en la expresión. Aquí A, B y C se utilizan como variables.
2. Cada variable se repite dos veces.
3. Una variable debe presentarse en forma complementada.

Después de aplicar este teorema, solo podemos tomar aquellos términos que contienen la variable complementada.

Prueba – También podemos probarlo así:

Y = AB + A'C + BC
Y = AB + A'C + BC.1
Y = AB + A'C + BC.(A + A')
Y = AB + A'C + ABC + A'BC
Y = AB(1 + C) + A'C(1 + B)
Y = AB + A'C             

Ejemplo 1.

F = AB + BC' + AC

Aquí tenemos tres variables A, B y C y todas se repiten dos veces. La variable C está presente en forma complementada. Entonces, todas las condiciones se cumplen para aplicar este teorema.

Después de aplicar el teorema de redundancia, podemos escribir solo los términos que contienen variables complementadas (es decir, C) y omitir el término de redundancia, es decir, AB.

 .'. F = BC' + AC

Ejemplo-2.

F = (A + B).(A' + C).(B + C)

Tres variables están presentes y todas se repiten dos veces. La variable A está presente en forma complementada. Por lo tanto, se cumplen las tres condiciones de este teorema.

Después de aplicar el teorema de redundancia, podemos escribir solo los términos que contienen variables complementadas (es decir, A) y omitir el término de redundancia, es decir, (B + C).

.'. F = (A + B).(A' + C)

Considere la siguiente ecuación:

Y = AB + A'C + BC

El tercer término del producto BC es un término de consenso redundante. Si A cambia de 1 a 0 mientras B=1 y C=1, Y permanece en 1. Durante la transición de la señal A en las puertas lógicas, tanto el primer como el segundo término pueden ser 0 momentáneamente. El tercer término evita un fallo ya que su valor de 1 en este caso no se ve afectado por la transición de la señal A.

De este modo. es importante eliminar la redundancia lógica porque genera una complejidad de red innecesaria y aumenta el costo de implementación.

Entonces, de esta manera podemos minimizar una expresión booleana para resolverlo.