Teorema del binomio

La expresión binomial es una expresión algebraica con sólo dos términos, por ejemplo, 4x ² +9. Cuando tales términos son necesarios para expandirse a cualquier potencia o índice grande, digamos n, entonces se requiere un método para resolverlo.

Por lo tanto, se introduce un teorema llamado Teorema del Binomio que es una forma eficiente de expandir o multiplicar una expresión binomial. El teorema del binomio se define como la fórmula mediante la cual cualquier potencia de una expresión binomial se puede expandir en forma de serie.

teorema del binomio

El teorema del binomio se utiliza para resolver expresiones binomiales de forma sencilla. Da una expresión para calcular la expansión de (a+b) ⁿ para cualquier número entero positivo n. El teorema del binomio se expresa como:

(a + b) ^norte = ^norte C ₀ un ^norte + ^norte C ₁ un ^norte-1 segundo ¹ + ^norte C ₂ un ^{norte-2 segundo} 2 ⁺ …. + ⁿ C _r a ^n-r b ^r + …. + ^norte C _norte segundo ^norte

Ahora, como se entiende que es una expresión binomial y el propósito del teorema binomial, intente expandir (a+b) ⁿ para valores grandes de n (por ejemplo, n = 10. 11, 12,…) usando lo anterior declaración como:

• (a + b) ¹⁰ = a ¹⁰ + 10a ⁹ b + 45a ⁸ b ² + 120a ⁷ b ³ + 210a ⁶ b ⁴ + 252a ⁵ b ⁵ + 210a ⁴ b ⁶ +120a ³ b ⁷ + 45a ² b ⁸ + 10ab ⁹ + segundo ¹⁰
• (a + b) ¹¹ = a ¹¹ + 11a ¹⁰ b + 55a ⁹ b ² + 165a ⁸ b ³ + 330a ⁷ b ⁴ + 462a ⁶ b ⁵ + 462a ⁵ b ⁶ + 330a ⁴ b ⁷ + 165a ³ b ⁸ + 55a ^{2 segundo 9} + 11ab 10 ⁺ segundo ¹¹
• (a + b) ¹² = a ¹² + 12a ¹¹ b + 66a ¹⁰ b ² + 220a ⁹ b ³ + 495a ⁸ b ⁴ + 792a ⁷ b ⁵ + 924a ⁶ b ⁶ + 792a ⁵ b ⁷ + 495a ⁴ b ⁸ + 220a ^{3 segundo 9} + 66a ^{2 segundo} 10 ⁺ 12ab 11 ⁺ segundo ¹²

y así.

En el caso de la expansión de potencias más pequeñas, es difícil calcular los coeficientes de la expansión binomial usando la misma declaración. Este inconveniente del teorema del binomio se resuelve con el Triángulo de Pascal.

El Triángulo de Pascal es un método alternativo de cálculo de coeficientes que vienen en expansiones binomiales, utilizando un diagrama en lugar de métodos algebraicos.

En el diagrama que se muestra a continuación, se observa que cada número en el triángulo es la suma de los dos directamente arriba. Este patrón continúa indefinidamente para obtener coeficientes de cualquier índice de la expresión binomial.

Cuando observamos el patrón de los coeficientes de la expansión (a + b) ⁿ , El triángulo de Pascal para el patrón de los coeficientes de la expansión (a + b) ⁷ se muestra en la siguiente figura:

Por lo tanto, a partir del diagrama anterior, la expansión de pequeñas potencias de n (p. ej., n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) se puede calcular como:

• (a + b) ⁰ = 1
• (a + b) ¹ = a + b
• (a + b) ² = a ² + 2ab +b ²
• (a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³
• (a + b) ⁴ = un ⁴ + 4a ³ segundo + 6a ^{2 segundo 2} + 4ab 3 ⁺ segundo ⁴
• (a + b) ⁵ = a ⁵ + 5a ⁴ b + 10a ³ b ² + 10a ² b ³ + 5ab ⁴ + b ⁵
• (a + b) ⁶ = a ⁶ + 6a ⁵ b + 15a ⁴ b ² + 20a ³ b ³ + 15a ² b ⁴ + 6ab ⁵ + b ⁶
• (a + b) ⁷ = a ⁷ + 7a ⁶ b + 21a ⁵ b ² + 35a ⁴ b ³ + 35a ³ b ⁴ + 21a ² b ⁵ + 7ab ⁶ + b ⁷

De esta forma la expansión de (a + b) ⁰ a (a + b) ⁷ se obtienen por la aplicación del Triángulo de Pascal. Pero encontrar (a + b) ¹⁵ es realmente un proceso largo usando el triángulo de Pascal. Entonces, aquí es donde entra en escena el teorema del binomio.

Cuando los coeficientes se observan de cerca, el teorema se convierte en el siguiente:

(a+b) ¹ = ¹ C ₀ un + ¹ C ₁ segundo

(a+b) ² = ² C ₀ un ² + ² C ₁ ab + ² C ₂ segundo ²

(a+b) ³ = ³ C ₀ un ³ + ³ C ₁ un ^{2 segundo} + ³ C ₂ ab ² + ³ C ₃ segundo ³

Entonces, a partir del patrón anterior, la expansión de (a + b) ⁿ se convierte en la siguiente:

(a + b) ^norte = ^norte C ₀ un ^norte + ^norte C ₁ un ^norte-1 segundo ¹ + ^norte C ₂ un ^{norte-2 segundo} 2 ⁺ …. + ⁿ C _r a ^n-r b ^r + …. + ^norte C _norte segundo ^norte

El enunciado anterior se llama teorema del binomio .

Fórmula del teorema binomial

La fórmula obtenida por el Teorema del Binomio se llama Fórmula del Teorema del Binomio, esta fórmula se puede aplicar directamente a una ecuación binomial (que contenga términos como x e y) elevado a cualquier potencia n se da como:

Algunos ejemplos de la fórmula anterior son los siguientes:

• (x+y) ² =x ² +2xy+y ²
• (x+y) ³ =x ³ +3x ² y+3xy ² +y ³

Propiedades del teorema del binomio

La expansión binomial o teorema binomial es una parte importante de la media aritmética. No es ni demasiado fácil ni demasiado difícil porque se puede aplicar directamente en una pregunta. Algunas de las propiedades importantes de una expansión binomial (a+b) ⁿ se establecen como:

1. Hay (n+1) términos en una expansión de una expresión binomial con índice n, es decir, uno más que la potencia (índice) de la expresión binomial. por ejemplo, el número de términos presentes en la expansión de (a+b) ⁿ es igual a (n+1).
2. La expansión de (a+b) ⁿ tiene el primer término igual a a ⁿ mientras que el último es igual a b ⁿ .
3. Tal que la suma de los índices de cada a y b es igual a n solamente.
4. Cuando a = b o a+b = n solamente, entonces ⁿ C _a = ⁿ C _b .
5. Los coeficientes de cada término equidistante del principio y del final son iguales. Dichos coeficientes se denominan coeficientes binomiales y ⁿ C _r = ⁿ C _r-1 donde r es 0,1,2,…,n.

Ejemplos de problemas sobre el teorema del binomio

Intentemos algunos problemas de muestra sobre el teorema del binomio.

Problema 1: Expande la expresión binomial (2x + 3y) ² .

Solución:

(2x) ² + 2(2x)(3y) + (3y) ²

= 4x ^​​2 + 12xy + 9y ²

Problema 2: Expande lo siguiente (1 – x + x ² ) ⁴

Solución:

Ponga 1 – x = y.

Después,

(1 – x + x ² ) ⁴ = (y + x ² ) ⁴

= ⁴ C ₀ y ⁴ (x ² ) ⁰ + ⁴ C ₁ y ³ (x ² ) ¹ + ⁴ C ₂ y ² (x ² ) ² + ⁴ C ₃ y(x ² ) ³ + ⁴ C ₄ (x ² ) ⁴

= y ⁴ + 4y ³ x ² + 6y ² x ⁴ + 4yx ⁶ + x ⁸

= (1 – x) ⁴ + 4(1 – x) ³ x ² + 6(1 – x) ² x ⁴ + 4(1 – x)x ⁶ + x ⁸

= 1 – 4x + 10x ² – 16x ³ + 19x ⁴ – 16x ⁵ + 10x ⁶ – 4x ⁷ + x ⁸

Problema 3: Encuentra el cuarto término desde el final en la expansión de ((x ³ /2) – (2/x ² )) ⁸ .

Solución:

Dado que el término r ^-ésimo desde el final en la expansión de (a + b) ⁿ es

(n – r + 2) ^ésimo término desde el principio.

Por lo tanto, el cuarto ^término desde el final es 8 – 4 + 2,

es decir, sexto término desde el principio, que viene dado por

T ₆ = ⁸ C ₅ (x ³ /2) ³ (-2/x ² ) ⁵

= ⁸ C ₃ (x ⁹ /8)(64/x ¹⁰ )

= 672/x ⁶

Problema 4: Encuentra el término medio (términos) en la expansión de ((p/x) + (x/p)) ⁹

Solución:

Dado que la potencia del binomio es impar. Por lo tanto, tenemos dos términos medios.

que son los términos 5 y 6. Estos son dados por

T ₅ = ⁹ C ₄ (p/x) ⁵ (x/p) ⁴

= ⁹ C ₄ (p/x)

= 126(p/x)

V ₆ = ⁹ C ₅ (p/x) ⁴ (x/p) ⁵

= ⁹ C ₅ (x/p)

= 126(x/p)