Teorema del Punto Medio – Cuadriláteros | Clase 9 Matemáticas

La geometría es una parte importante de las matemáticas que se ocupa de diferentes formas y figuras. Los triángulos son una parte importante de la geometría y el teorema del punto medio apunta hacia los puntos medios del triángulo.

¿Qué es el teorema del punto medio?

Este teorema establece que “ El segmento de línea que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado del triángulo y es la mitad de él”

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Prueba del teorema del punto medio

Un triángulo ABC en el que D es el punto medio de AB y E es el punto medio de AC.

Para probar: DE ∥ BC y DE = 1/2(BC)

Construcción

Extienda el segmento de línea que une los puntos D y E a F de manera que DE = EF y únase a CF.

Prueba

En ∆AED y ∆CEF 

DE = EF (construcción)

∠1 = ∠2 (ángulos verticalmente opuestos)

AE = CE (E es el punto medio)

△AED ≅ △CEF según criterios SAS

Por lo tanto, 

∠3 =∠4 (cpct)

Pero estos son ángulos interiores alternos.

Entonces, AB ∥ CF

DA = CF(cpct)

Pero AD = DB (D es el punto medio)

Por lo tanto, BD = CF

En BCFD

BD∥ CF (como AB ∥ CF)

BD = FC

BCFD es un paralelogramo ya que un par de lados opuestos son paralelos e iguales.

Por lo tanto, 

DF∥ BC (lados opuestos del paralelogramo)

DF = BC (lados opuestos del paralelogramo)

Como DF∥ BC, DE∥ BC y DF = BC

Pero DE = EF

Entonces, DF = 2(DE)

2(DE) = BC

DE = 1/2 (BC)

Por lo tanto, se demostró que la línea que une los puntos medios de dos lados del triángulo es paralela al tercer lado y es la mitad de él.

¿Cuál es el inverso del teorema del punto medio?

La línea trazada a través del punto medio de un lado de un triángulo paralelo a la base de un triángulo biseca el tercer lado del triángulo.

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Prueba del teorema

En el triángulo PQR, S es el punto medio de PQ y ST ∥ QR 

Demostrar: T es el punto medio de PR.

Construcción

Dibuje una línea a través de R paralela a PQ y extienda ST a U.

Prueba

ST∥ QR(dado)

Entonces, SU∥ QR

PQ∥ RU (construcción)

Por lo tanto, SURQ es un paralelogramo.

SQ = RU (lados opuestos del paralelogramo)

Pero SQ = PS (S es el punto medio de PQ)

Por lo tanto, RU = PS

En △PST y △RUT

∠1 =∠2(ángulos verticalmente opuestos)

∠3 =∠4(ángulos alternos)

PS = RU (probado arriba)

△PST ≅ △RUT por criterio AAS

Por lo tanto, PT = RT

T es el punto medio de PR.

Ejemplos de problemas sobre el teorema del punto medio

Problema 1: l, m y n son tres rectas paralelas. p y q son dos transversales que intersecan líneas paralelas en A, B, C, D, E y F, como se muestra en la figura. Si AB:BC = 1:1, encuentre la razón de DE : EF.

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Dado: AB:BC=1:1

Para encontrar: DE:EF

Construcción: Une AF de modo que interseque la línea m en G.

En △ACF 

AB = BC (proporción 1:1)

BG∥ CF(como m∥n)

Por lo tanto, por el contrario del teorema del punto medio G es el punto medio de AF(AG = GF)

Ahora, en △AFD

AG = GF (probado arriba)

GE∥ AD(como l∥m)

Por lo tanto, por el contrario del teorema del punto medio E es el punto medio de DF(FE = DE)

Entonces, DE:EF = 1:1 (ya que son iguales)

Problema 2: En la figura que se muestra a continuación, L, M y N son los puntos medios de los lados PQ, QR y PR respectivamente del triángulo PQR.

Si PQ = 8cm, QR = 9cm y PR = 6cm. Encuentra el perímetro del triángulo formado al unir L, M y N.

mid-point-theorem

Solución: Como L y N son puntos medios

Por el teorema del punto medio 

LN ∥ QR y LN = 1/2 * (QR)

LN = 1/2 × 9 = 4,5 cm

Del mismo modo, LM = 1/2 * (PR) = 1/2×(6) = 3 cm

Del mismo modo, MN = 1/2 * (PQ) = 1/2 × (8) = 4 cm

Por lo tanto, el perímetro de △LMN es LM + MN + LN

= 3 + 4 + 4,5

= 11,5 cm

El perímetro es de 11,5 cm.

Resultado: El perímetro del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados del triángulo es la mitad del triángulo.

 

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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