Teoremas algebraicos booleanos

Los teoremas algebraicos booleanos son los teoremas que se utilizan para cambiar la forma de una expresión booleana. A veces, estos teoremas se usan para minimizar los términos de la expresión y, a veces, se usan solo para transferir la expresión de una forma a otra. 

Hay teoremas algebraicos booleanos en lógica digital: 

1. Teorema de De Morgan : 
El teorema de DE Morgan representa dos de las reglas más importantes del álgebra booleana. 

(i). (A . B)' = A' + B' 

Así, el complemento del producto de las variables es igual a la suma de sus complementos individuales. 
 

(ii). (A + B)' = A' . B' 

Así, el complemento de la suma de las variables es igual al producto de sus complementos individuales. 

Las dos leyes anteriores se pueden extender para n variables como 

(A1 . A2 . A3 ... An)' = A1' + A2' + ... + An'

And

(A1 + A2 + ... + An)' = A1' . A2' . A3' ... An' 

2. Teorema de Transposición: 
Establece que: 

AB + A'C = (A + C) (A' + B)

Prueba: 

RHS 
= (A + C) (A' + B)
= AA' + A'C + AB + CB
= 0 + A'C + AB + BC
= A'C + AB + BC(A + A')
= AB + ABC + A'C + A'BC
= AB + A'C
= LHS 

3. Teorema de Redundancia : 
Este teorema se utiliza para eliminar los términos redundantes. Una variable está asociada con alguna variable y su complemento está asociado con alguna otra variable y el siguiente término está formado por las variables sobrantes, luego el término se vuelve redundante. 

Ejemplo: 

AB + BC' + AC = AC + BC' 

Prueba: 

LHS 
= AB + BC' + AC
= AB(C + C') + BC'(A + A') + AC(B + B')
= ABC + ABC' + ABC' + A'BC' + ABC + AB'c
= ABC + ABC' + A'BC' + AB'C
= AC(B + B') + BC'(A + A')
= AC + BC'
= RHS 

4. Teorema de la dualidad: 
la expresión dual es equivalente a escribir una lógica negativa de la relación booleana dada. Para esto, 

1. Cambie cada signo O por un signo Y y viceversa. 
2. Complemente cualquier 0 o 1 que aparezca en la expresión. 
3. Mantenga los literales como están. 
    

Ejemplo: 

Dual of A(B+C) = A+(B.C) = (A+B)(A+C)

5. Teorema del complemento: 
para obtener la expresión del complemento, 

1. Cambie cada signo O por el signo Y y viceversa. 
2. Complemente cualquier 0 o 1 que aparezca en la expresión. 
3. Complementar los literales individuales. 
    

Ejemplo: 

Complement of A(B+C) = A'+(B'.C') = (A'+B')(A'+C')