Tipos de autocorrelación – Barcelona Geeks

Autocorrelación:

Como discutimos en este artículo, la Autocorrelación se define como la medida del grado de similitud entre una serie de tiempo dada y la versión retrasada de esa serie de tiempo en períodos de tiempo sucesivos. La autocorrelación mide el grado de similitud entre una serie temporal y la versión retrasada de esa serie temporal en diferentes intervalos.

Función de autocorrelación:

Supongamos que tenemos una serie de tiempo {X _t } que tiene la siguiente media:

$\mu = E\left [ X_t \right ]$

y las funciones de autocovarianza

$\gamma_x\left ( t+k, t \right ) = Cov\left ( X_{t+k}, X_t \right ) \, = E\left [ \left ( X_{t+k}- \mu_{t+k} \right )\left ( X_t -\mu_t \right )\right ]$

en t=0,

$\gamma_x\left (k, 0\right ) = \gamma_x\left (k\right )$

y la función de autocorrelación se define como:

$\rho_x\left ( k \right ) = \frac{\gamma_x\left (k\right )}{\gamma_x\left (0\right )} = Corr\left ( X_{t+k}, X_t \right )$

El valor de la autocorrelación varía de -1 para la autocorrelación perfectamente negativa y 1 para la autocorrelación perfectamente positiva. El valor más cercano a 0 se denomina sin autocorrelación.

Autocorrelación positiva:

Autocorrelación positiva

$Corr\left ( X_{t+k}, X_t \right ) > 0 \,for\, k > 0$

A continuación se muestra el gráfico del conjunto de datos que representa la autocorrelación positiva en lag=1:

Autocorrelación negativa:

Autocorrelación negativa

$Corr\left ( X_{t+k}, X_t \right ) < 0 \,for\, k > 0$

A continuación se muestra el gráfico de la serie de tiempo que representa la autocorrelación negativa en lag=1:

Autocorrelación fuerte

Podemos concluir que los datos tienen una fuerte autocorrelación si el gráfico de autocorrelación es similar a los siguientes gráficos:

La gráfica de autocorrelación comienza con una autocorrelación muy alta en el desfase 1, pero disminuye lentamente hasta que se vuelve negativa y comienza a mostrar una autocorrelación negativa creciente. Este tipo de patrón indica una fuerte autocorrelación , que puede ser útil para predecir tendencias futuras.

El siguiente paso sería estimar los parámetros para el modelo autorregresivo:

$Y_{i} = A_0 + A_1*Y_{i-1} + E_{i}$

La suposición de aleatoriedad para el ajuste por mínimos cuadrados se aplica a los residuos del modelo. Es decir, aunque los datos originales muestran no aleatoriedad, los residuos después de ajustar Y _i contra Y _i-1 deberían dar como resultado residuos aleatorios.

Autocorrelación débil

Podemos concluir que los datos tienen una autocorrelación débil si la gráfica de autocorrelación es similar a la siguiente gráfica con retraso = 1:

Gráfica de retraso en Lag = 1

El gráfico anterior muestra que hay algo de autocorrelación en lag=1 porque si no hay autocorrelación, la gráfica será similar a esta gráfica en valores aleatorios con lag=1

La conclusión se puede sacar de la gráfica anterior.

Un modelo autorregresivo subyacente con autocorrelación positiva/negativa moderada.
Hubo muy pocos valores atípicos.

El gráfico de autocorrelación débil anterior tiene algún modelo autorregresivo que se puede representar de tal forma

$Y_(i+1) = A_0 + A_1*Y_(i) + random-error$

en Y _i =0, podemos obtener el residual de los estimadores.

$Y_(i+1) = A_0 + random-error$

Es fácil realizar una estimación en el gráfico de retardo debido a que Y _i+1 e Y _i son sus ejes.

Implementación

En esta implementación, veremos cómo generar gráficos de correlación y gráficos de retraso. Usaremos el conjunto de datos de parpadeo y algunas muestras generadas aleatoriamente para este propósito.

python3

# Necessary imports
import numpy as np
from numpy.random import random_sample
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
 
# Generate Autocorrelation plot at different lags
# with a given level of significance.
weak_Corr_df = pd.read_csv('flicker.csv', sep ='\n', header=None)
plot_acf(weak_Corr_df, alpha = 0.05)
 
# Generate Lag plots for a particular lag value
pd.plotting.lag_plot(weak_Corr_df, lag = 1)
 
# Generate 200 random numbers and plot lag plot and autocorrelation plot for that
random_Series = pd.Series(random_sample(200))
pd.plotting.lag_plot(random_Series, lag = 1)
plot_acf(random_Series, alpha = 0.05)

Para el conjunto de datos de Flicker, los gráficos son los siguientes:

Datos de parpadeo de autocorrelación

Gráfica de retraso para datos de parpadeo

Para conjuntos de datos aleatorios normales, las gráficas son las siguientes

Gráfica de autocorrelación

Gráfica de retraso para datos aleatorios en retraso = 1

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por pawangfg y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA