Tipos de funciones | Clase 12 Matemáticas

En este artículo, vamos a discutir los tipos de funciones. Entonces, antes de saltar al tema, primero debe conocer las funciones. Así que veamos qué son las funciones.

Nota: En todo el artículo, X se refiere a Dominio e Y se refiere a Codominio .

¿Qué es la función?

Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función o mapeo de f de X a Y escrito como f: X -> Y es una regla por la cual cada elemento x ∈ X está asociado con un único elemento y ∈ Y.

Dominio, Codominio y Rango de Función

Los elementos de X se denominan dominio de f y los elementos de Y se denominan dominio de f. Las imágenes del elemento de X se denominan cuyo rango es un subconjunto de Y. La siguiente imagen demuestra el dominio, el codominio y el rango de la función.

La imagen demuestra el dominio, el codominio y el rango de la función. Recuerde que el elemento que está mapeado solo se contará en el rango como se muestra en la imagen. Si escribimos el dominio, el codominio y el rango de la función anterior, entonces

Dominio = {a, b, c}

Codominio = {1, 2, 3, 4, 5}

Rango = {1, 2, 3}

¿Cuándo dejará de existir la función? La condición cuando la función no existirá, cuando todos los elementos del dominio no se mapeen con el elemento del codominio, si alguno de los elementos se deja mapear con el codominio, entonces la función no existirá.

En el ejemplo anterior, podemos ver que todos los elementos del dominio no están mapeados . El elemento b se deja mapeado, por lo que cuando surja esta condición, nuestra función no existirá. Saltemos al tema. 

Tipos de funciones

Básicamente, hay 6 tipos de funciones. 

1. Función uno a uno (inyectiva)
2. Función muchos a uno
3. Función sobre (sobreyectiva)
4. en función
5. Funciones uno a uno sobre (función biyectiva)
6. Muchos a uno en función  

Función uno a uno (inyectiva)

Se dice que una función f: X -> Y es una función uno a uno si las imágenes de elementos distintos de X bajo f son distintas. Por lo tanto, f es uno a uno iff f(x ₁ ) = f(x ₂ ).

Propiedad: Una función f : A -> B es uno a uno si para cualquier f (x ₁ ) = f (x ₂ ) significa x ₁ = x ₂ , es decir, la imagen de un elemento distinto de A bajo el mapeo f (función) son distinto.

Condición para ser función Uno a Uno: Cada elemento del dominio tiene una sola imagen con codominio después del mapeo.

Ejemplos de muestra sobre la función uno a uno (inyectiva)

Ejemplo 1: Tomando f(x) = 2x + 3, poniendo 1, 2, 1/2 en lugar de x. 

• Entonces el Dominio = {1, 2, 1/2}
• Codominio = (5, 7, 4}

De la imagen de arriba, podemos concluir que nuestra función f(x) es uno a uno porque cada elemento del dominio tiene una sola imagen.

Ejemplo 2: Comprueba si la función es uno a uno o no: f(x) = 3x – 2

Solución: 

Para verificar que la función sea uno a uno o no, debemos verificar que los elementos del dominio tengan solo una imagen previa en el codominio o no. Para verificar, podemos escribir la función como,

f(x1 ₎ = f( _x2 ) 

3x ₁ – 2 = 3x ₂ – 2 

3×1 = _{3×2 _} 

x1 = _{x2 _}  

Dado que tanto x ₁ = x ₂ significa que los elementos del dominio tienen una sola imagen previa en su codominio. Por lo tanto, la función f(x) = 3x – 2 es una función uno a uno.

Ejemplo 3: Comprueba si la función es uno a uno o no: f(x) = x ² + 3.

Solución: 

Para comprobar si la función es One to One o no, seguiremos el mismo procedimiento. Ahora comprobemos, podemos escribir la función como,

f(x1 ₎ = f( _x2 ) 

(x ₁ ) ² + 3 = (x ₂ ) ² + 3 

(x ₁ ) ² = (x ₂ ) ²  

Dado que (x ₁ ) ² ≠ (x ₂ ) ²

Por lo tanto, la función f (x) = x ² + 3 no es una función uno a uno.

Ejemplo 4: Si N -> N, f(x) = 2x + 1, entonces comprueba si la función es inyectiva o no.

Solución:

En cuestión N -> N, donde N pertenece a Número Natural, lo que significa que el dominio y codominio de la función es un número natural. Para verificar si la función es inyectiva o no, podemos escribir las funciones como,

Sea, f(x ₁ ) = f(x ₂ )

2x ₁ + 1= 2x ₂ + 1

2×1 = _{2×2  _}

x1 = _{x2 _}

Dado que x ₁ = x ₂ , significa que todos los elementos del dominio se asignan con un solo elemento del codominio. Por lo tanto, la función f(x) = 2x + 1 es inyectiva (uno a uno).

Ejemplo 5: Si f: R -> R por f(x) = 1/x. Luego verifique si la función dada es uno a uno o no.

Solución: 

En la pregunta R -> R, donde R pertenece a Non-Zero Real Number, lo que significa que el dominio y el codominio de la función son números reales distintos de cero. Verificaremos esto también como lo habíamos hecho en la pregunta anterior. Podemos escribir la función como,

f(x1 ₎ = f( _x2 )

1/x ₁ = 1/x ₂

x1 = _{x2 _}

Dado que x ₁ = x ₂ , significa que todos los elementos del dominio se asignan con un solo elemento del codominio. Por lo tanto, la función f(x) = 1/x es uno a uno.

Función muchos a uno

Si la función no es una función de uno a uno, entonces debería ser una función de muchos a uno, lo que significa que cada elemento del dominio tiene más de una imagen en el codominio después del mapeo.

Propiedad: Uno o más elementos que tienen la misma imagen en el codominio

Condición para ser una función Muchos a Uno: Uno o más de un elemento en el dominio que tiene una sola imagen en el codominio.

Ejemplos de muestra en la función de muchos a uno

Ejemplo 1: f(x) = x ² . Compruebe si la función es Muchos a Uno o no.

Solución: 

Dominio = {1, -1, 2, -2}, pongamos los elementos del dominio en la función

f(1) = 1 ² = 1

f(-1) = (-1) ² = 1

f(2) = (2) ² = 4

f(-2) = (-2) ² = 4

Entonces nuestro Codominio = {1, 4}. Después del mapeo:

Del mapeo anterior, podemos ver que uno de los elementos del dominio tiene una sola imagen después del mapeo. Así que esta es nuestra función Muchos a Uno.

Ejemplo 2: A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d, e} la función se define como f = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)}. Compruebe si la función es Muchos a Uno o no.

Solución: 

Representemos la función a través del mapeo.

Como sabemos, la condición de que la función sea Muchos a Uno es que uno o más elementos del dominio tengan la misma imagen en el codominio. Como vemos en el mapeo, el elemento del dominio {1, 2} tiene la misma imagen en el codominio {a} después del mapeo. Entonces la función es una función Muchos a Uno.

Función sobre (sobreyectiva)

Una función f: X -> Y se dice que es una función sobre, si cada elemento de Y es una imagen de algún elemento del conjunto X bajo f, es decir, para cada y ∈ Y existe un elemento x en X tal que f( x) = y.

Propiedades:

• El rango de funciones debe ser igual al codominio.
• Todo elemento de B es imagen de algún elemento de A.

Condición para estar sobre la función: el rango de la función debe ser igual al codominio.

Como vemos en las dos imágenes anteriores, el rango es igual al codominio significa que cada elemento del codominio se mapea con el elemento del dominio, como sabemos que los elementos que se mapean en el codominio se conocen como el rango. Así que estos son los ejemplos de la función Onto.

Ejemplos de muestra sobre la función Onto (sobreyectiva)

Ejemplo 1: si R -> R está definido por f(x) = 2x + 1. Luego verifica si la siguiente función es Onto o no.

Solución: 

Para verificar si la función es Onto o no, primero pongamos la función f(x) igual a y

f(x) = y

y = 2x + 1

y-1 = 2x

x = (y – 1) / 2

Ahora pon el valor de x en la función f(x), obtenemos,

f((y – 1) / 2) = 2 . [(y – 1) / 2] +1

Tomando MCM 2, obtenemos

= [2(y – 1) + 2] / 2

= (2y – 2 + 2) / 2

= y

Ya que recuperamos y después de poner el valor de x en la función. Por lo tanto, la función dada f(x) = 2x + 1 es la función Sobre.

Ejemplo 2: Si f: R – {1} -> R – {1} se define por f(x) = (x + 1) / (x – 1). Compruebe si la función es Onto o no.

Solución: 

Como hicimos en el primer paso, ponga la función f(x) igual a y y resuelva

(x + 1) / (x – 1) = y

y (x – 1) = (x + 1)

yx – y = x + 1

Transferimos x al lado izquierdo e y al lado derecho, obtenemos

yx – x = y + 1

x(y – 1) = y + 1

x = (y + 1) / (y – 1)

Ahora pongamos el valor de x en la función, obtenemos

f((y + 1) / (y – 1)) = [{(y + 1) / (y – 1)} + 1] / [{(y + 1) / (y – 1)} – 1]

= [{(y +1 + y – 1) / (y – 1)} / {(y + 1 – y + 1) / (y – 1)}]

Cancelar (y – 1) con (y – 1), obtenemos

= (2y + 1 – 1) / (2 + y – y)

= 2 años / 2

= y

Ya que recuperamos y después de poner el valor de x en la función. Por lo tanto, la función dada f(x) = (x + 1) / (x – 1) es la función Sobre.

Ejemplo 3: Si N -> N está definido por f(x) = 3x + 1. Entonces, demuestre que la función f(x) es sobreyectiva.

Solución: 

Para probar que la función es sobreyectiva o no, primero igualamos la función a y. Luego averigüe el valor de x y luego ponga ese valor en la función. Así que comencemos a resolverlo.

Sea f(x) = y

3x + 1 = y

3x = y – 1

x = (y – 1) / 3

Ahora pon el valor de x en la función f(x), obtenemos

f((y – 1) / 3) = {3 (y – 1) / 3} + 1

= y – 1 + 1

= y

Ya que recuperamos y después de poner el valor de x en la función. Por lo tanto, la función dada f(x) = (3x + 1) es la función Sobre.

Ejemplo 4: Si N -> N está definido por f(x) = 1/x. Luego verifique que la función f(x) sea Onto o no.

Solución: 

Para todo y existe 1/y tal que,

f(1 / año) = 1 / (1 / año)

entonces obtenemos solo y

significa que y pertenece al codominio y 1/y pertenece al dominio. Así que por cada 1 / año, obtenemos y. Como obtenemos y, esto significa que la función es sobre.

Ejemplo 5: si N -> N está definido por f(x) = 5x + 3. Entonces comprueba que la función f(x) es sobre o no.

Solución: 

Para comprobar tenemos que poner la función igual a y

f(x) = y

5x + 3 = y

x = (y – 3) / 5

Pon el valor de x en la función

f(x) = {5 . (y – 3) / 5} + 3

Cancelar 5 con 5, obtenemos

= y – 3 + 3

= y 

Ya que recuperamos y después de poner el valor de x en la función. Por lo tanto, la función dada f(x) = 5x + 3 es la función Sobre.

en función

Se dice que una función f: X -> Y es una función si existe al menos un elemento o más de un elemento en Y, que no tiene imágenes previas en X, lo que simplemente significa que cada elemento de la codominio no se asignan con elementos del dominio.

En la imagen de arriba, podemos ver claramente que cada elemento del codominio no está mapeado con elementos del dominio, lo que significa que el décimo elemento del codominio no está mapeado. Entonces, este tipo de función se conoce como funciones Into.

Propiedades: 

• El rango de la función es el subconjunto propio de B
• El rango de funciones no debe ser igual a B, donde B es el codominio.

Ejemplos de muestra en la función Into

Ejemplo 1: si los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {x, y, z} entonces la función se define como f = {( 1, x), (1, y), (2, z) )}. Luego verifique si la función está dentro o no.

Solución: 

Tenemos f = {(1, x), (1, y), (2, z)} 

Si mapeamos esta función, entonces obtenemos

En el mapeo anterior, vemos claramente que el rango de función es el subconjunto propio del codominio y tampoco es igual al codominio. Por lo tanto, podemos decir que la función es En función.

Ejemplo 2: Si los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} entonces la función se define como f = {(1, d), (2, a), (3, c), (4, b)}. Luego verifique si la función está dentro o no.

Solución: 

Primero representemos la función a través del mapeo.

Como sabemos, la condición para la función Into es que el rango de la función sea el subconjunto adecuado del codominio y tampoco debe ser igual al codominio. En el mapeo de la función, vemos claramente que todos los elementos del codominio están mapeados con elementos del dominio.

• Entonces, Rango de la función = {a, b, c, d}
• Codominio de la función = {a, b, c, d}

Dado que el Rango de la función es igual al codominio de la función. Se prueba que la función no está en función. 

Funciones uno a uno sobre (función biyectiva)

Se dice que una función f: X-> Y es una función biyectiva si es tanto uno a uno como sobre uno.

Así que veamos el ejemplo de la función biyectiva para una mejor comprensión.

Mire cuidadosamente el ejemplo anterior, podemos ver que la función es tanto uno a uno como sobre porque los elementos del dominio tienen una sola imagen en el codominio, que es la condición para uno a uno como discutimos anteriormente y otras condiciones, en las que El rango es igual al Codominio. Así que se cumplen las dos condiciones de Uno a Uno y Onto. Así que nuestra función es One to One Onto.

Propiedades:

• Una función f: A -> B es uno a uno si para cualquier f(x ₁ ) = f(x ₂ ) significa x ₁ = x ₂ , es decir, la imagen de un elemento distinto de A bajo el mapeo f (función) son distintos.
• Una función f: A -> B es uno a uno si el rango de f = B, es decir, f(A) = B
• El rango de funciones debe ser igual al codominio.
• Todo elemento de B es imagen de algún elemento de A.

Ejemplos de muestra en funciones uno a uno sobre (función biyectiva)

Ejemplo 1: Si A = R – {3} y B = R – {1}. Considere la función f: A -> B definida por f(x) = (x – 2)/(x – 3), para todo x ∈ A. Luego demuestre que la función f es biyectiva.

Solución: Para demostrar que la función es biyectiva, tenemos que probar la función dada tanto uno a uno como sobre uno.

Primero verifiquemos uno a uno:

Sea x ₁ , x ₂ ∈ A tal que f(x ₁ ) = f(x ₂ ) 

Entonces, (x ₁ – 2) / (x ₁ – 3) = (x ₂ – 2) / (x ₂ – 3)

(x ₁ – 2) (x ₂ – 3) = (x ₂ – 2) (x ₁ – 3)

x1 _{_} _ x ₂ – 3x ₁ – 2x ₁ + 6 = x ₁ . x ₂ – 3x ₂ -2x ₁ + 6

-3x ₁ – 2x ₂ = -3x ₂ – 2x ₁

-3( x1 – x2 ) _{+ 2} ( x1 – x2 ) _{= 0}

-( x ₁ – x ₂ ) = 0

x1 – x2  =  ₀

⇒x1 = _{x2 _}

Así, f(x ₁ ) = f(x ₂ ) ⇒ x ₁ = x ₂ , ∀ x1, x2 ∈ A

Entonces, la función es uno a uno

Ahora vamos a comprobar para Onto:

Sea y ∈ B = R – {1} cualquier elemento arbitrario.

Entonces, f(x) = y

⇒ (x – 2) / (x – 3) = y

⇒ x – 2 = xy – 3y

⇒ x – xy = 2 – 3y

⇒ x(1 – y) = 2 – 3y

⇒ x = (2 – 3y) / (1 – y) o x = (3y – 2) / (y – 1)

Ahora pon el valor de x en la función f(x) 

f((3y – 2) / (y – 1)) = { (3y – 2) / (y – 1) } – 2 / { (3y – 2) / (y – 1) – 3 }

= (3y – 2 – 2y + 2) / (3y – 2 – 3y + 3)

= y

Por lo tanto, f(x) es sobre la función. Ya que demostramos tanto Uno a Uno como Sobre esto implica que la función es biyectiva.

Ejemplo 2: A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} entonces la función se define como f= {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}. Compruebe si la función es One to One Onto o no.

Solución: Comprobar si la función es One to One Onto o no. Tenemos que comprobar ambos uno por uno. Primero representemos la función a través del mapeo.

Comprobemos uno a uno:

Como sabemos, la condición de Uno a Uno es que todos los elementos del dominio tienen una sola imagen en el codominio. Como vemos en el mapeo, todos los elementos del conjunto A están mapeados con el conjunto B y cada uno tiene una sola imagen después del mapeo. Entonces la función es uno a uno.

Ahora busquemos Onto:

Como sabemos, la condición para que la función sea Sobre es que Rango = Codominio significa que todos los elementos del codominio se asignan con elementos del dominio, en este caso, el codominio será igual al dominio. Como vemos en el mapeo, se cumple la condición de que la función sea Sobre. Entonces la función es Sobre. Ya que habíamos probado que la función es tanto Uno a Uno como Sobre. Por lo tanto, la función es uno a uno sobre (biyectiva).

Muchos a uno en función  

Se dice que una función f: X-> Y es una función de muchos a uno en si es tanto de muchos a uno como de muchos.

Así que veamos el ejemplo de la función Many to One Into para una mejor comprensión.

Entonces vemos en el ejemplo anterior que ambas condiciones se cumplen. Como vemos que en el codominio {1, 6, 10, 12} estos son los elementos que quedan por mapear. En primer lugar, la condición de que cada elemento del dominio tenga más de una imagen en el codominio después del mapeo, que es para muchos a uno como se discutió anteriormente y otra condición, que exista al menos un elemento o más de un elemento en Y (Codominio), que no tiene imágenes previas en X (Dominio), lo que simplemente significa que cada elemento del codominio no está mapeado con elementos del dominio, que es la condición para la función Into. Entonces, ambas condiciones se cumplen, por eso nuestra función es una función de muchos a uno en.

Propiedades:

• Uno o más elementos que tienen la misma imagen en codominio para Muchos a Uno.
• El rango de la función es el subconjunto propio de B para en.
• El rango de funciones no debe ser igual a B para into.

Ejemplos de muestra en muchos a uno en función  

Ejemplo 1: A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}. La función se define como f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c) }.

Solución: 

Primero representemos la función a través del mapeo.

Para verificar la función es Muchos a uno en o no. Tenemos que comprobar ambos uno por uno.

Primero verifiquemos la función Many to One:

Como sabemos, la condición para la función Muchos a Uno es que más de un elemento del dominio debe tener más de la misma imagen en el codominio. Del mapeo anterior podemos ver que los elementos de A {3, 4} tienen la misma imagen en B {c}, por lo que la función es Muchos a Uno.

Ahora vamos a comprobar la función Into:

Como sabemos, la condición para la función Into es que el Rango de la función debe ser el subconjunto del codominio y también no igual al codominio. Verifiquemos si ambas condiciones se cumplen o no.

• Rango de función = { a, b, c }
• Codominio de función = { a, b, c }

Rango de función = Codominio de función

Como vemos que el rango de la función es igual al codominio de la función. Por lo tanto, podemos decir que la función no está dentro de la función. Como vemos que la función es muchos a uno pero no dentro, por lo tanto, la función no es muchos a uno dentro.

Ejemplo 2: A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}. La función se define como f = {(1, a), (2, b), (3, c)} 

Solución: 

Primero representemos la función a través del mapeo.

Como habíamos hecho en la pregunta anterior, lo mismo haremos en esta pregunta también.

Primero verifiquemos la función Many to One:

Como sabemos, la condición para la función Muchos a Uno es que más de un elemento del dominio debe tener más de la misma imagen en el codominio. Del mapeo anterior podemos ver que cada elemento de A tiene una sola imagen en B, por lo que la función no es Muchos a Uno.

Ahora vamos a comprobar la función Into:

Como sabemos, la condición para la función Into es que el Rango de la función debe ser el subconjunto del codominio y también no igual al codominio. Verifiquemos si ambas condiciones se cumplen o no.

• Rango de función = {a, b, c}
• Codominio de función = {a, b, c, d}

Ya que, Rango de función ≠ Codominio de función

Como vemos que el rango de la función no es igual al codominio de la función y también el rango de la función es el subconjunto propio del codominio. Por lo tanto, podemos decir que la función es En función. Como demostramos que la función no es muchos a uno, pero la función es dentro, ya que ambas condiciones no se cumplen. Por lo tanto, la función no es muchos a uno en.

Ejemplo 3: A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d}. La función se define como f= {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)}.

Solución:

Representemos la función a través del mapeo.

Para verificar la función es Muchos a uno en o no. Tenemos que comprobar ambos uno por uno.

Primero verifiquemos la función Many to One:

Como sabemos, la condición para la función Muchos a Uno es que más de un elemento del dominio debe tener más de la misma imagen en el codominio. Del mapeo anterior podemos ver que los elementos de A {3, 4} tienen la misma imagen en B {c}, por lo que la función es Muchos a Uno.

Ahora vamos a comprobar la función Into:

Como sabemos, la condición para la función Into es que el Rango de la función debe ser el subconjunto del codominio y también no igual al codominio. Verifiquemos si ambas condiciones se cumplen o no.

• Rango de función = {a, b, c}
• Codominio de función = {a, b, c, d}

Rango de función ≠ Codominio de función

Como comprobamos que el rango de la función no es igual al codominio de la función. Por lo tanto, podemos decir que la función es En función. Como demostramos que la función es Muchos a Uno y En. Por lo tanto, la función es muchos a uno en.