Conocemos las expansiones de términos como (x + 2) 2 y (x + 3) 3 . Estos son bastante simples de hacer, pero a veces nos encontramos con algunas expresiones como (x+2) 5 . Expresiones como estas son difíciles de expandir, podemos usar algunos trucos para simplificar, por ejemplo,
(x+2) 5 = (x+2)(x + 2) 2 (x+2) 2
Trabajo de investigación sobre las expansiones binomiales que involucran miles de exponentes. Se vuelve imprescindible conocer una forma sencilla de ampliarlos. Esto todavía es mucho trabajo, ahí es donde el teorema del binomio viene a nuestro rescate. Nos permite expandir cualquier expresión general como (x+ a) n . Veamos este teorema en detalle.
Expresión Binomial
Una expresión binomial se define como una expresión que tiene dos términos que están conectados por operadores como + o -. Por ejemplo, x + a, x – 6, etc. son ejemplos de expresiones binomiales. Elevar una expresión binomial a una potencia superior a 3 es bastante difícil y engorroso. Veamos algunas expansiones binomiales e intentemos encontrar algún patrón en ellas,
(x + a) 0 = 1
(x + a) 1 = x + a
(x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2
(x + a) 3 = x 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + a 3
Fíjate, necesitamos saber los coeficientes de estos términos, y luego puede ser un poco más fácil para nosotros describir sus expansiones. El triángulo de Pascals se puede utilizar para generar estos resultados muy rápidamente.
¿Qué es el Triángulo de Pascal?
Lleva el nombre del famoso filósofo y matemático ‘Pascal’, quien desarrolló un patrón de números que comienza con 1 y los números a continuación son la suma de los números anteriores. Para comenzar a hacer el triángulo de Pascal, primero, escribe el número 1. La segunda fila se escribe con dos 1 nuevamente. Se generan otras filas usando las filas anteriores para hacer un triángulo de números. Cada fila comienza y termina con un 1.
1
1 1
1 x 1
1 x x 1
Los números dados por x se calculan sumando los números de la fila anterior, que se encuentran a la izquierda y a la derecha sobre la posición dada. La siguiente figura demuestra el proceso de construcción del triángulo de Pascal.
De esta forma, se puede generar el triángulo de Pascal.
Pregunta 1: Genera la sexta fila del triángulo de Pascal.
Responder:
Pregunta 2: Genere la décima fila del triángulo de Pascal.
Responder:
Triángulos de Pascal para expandir expresiones binomiales
Veamos de nuevo las ecuaciones anteriores,
(x + a) 0 = 1
(x + a) 1 = x + a
(x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2
(x + a) 3 = x 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + a 3
Podemos concluir algunas cosas de estas ecuaciones para (x + a) n ,
- Siempre hay un término más que el valor de n.
- Para cada término, la suma de los exponentes siempre es igual a n.
- Para la variable “x”, el exponente parte de n y sigue decreciendo hasta cero. De manera similar, para «a» el exponente comienza desde 0 y va hasta n.
- Los coeficientes de estos términos están dados por el triángulo de Pascal.
Veamos un ejemplo, supongamos que queremos expandir (x + a) 3 a través de este concepto de expansión. Debe haber cuatro términos y los términos deben tener un exponente decreciente de «x» y un exponente creciente de «a», respectivamente.
(x + a) 3 = C 1 x 3 + C 2 x 2 a + C 3 xa 2 + C 4 a 3
Los valores C 1, C 2 , C 3 y C 4 son coeficientes, calcularemos los coeficientes con el triángulo de Pascal. Veamos el triángulo de Pascal con n + 1 filas,
Los valores de la última fila nos dan el valor de los coeficientes C 1 , C 2 , C 3 y C 4 .
Aquí, C 1 = 1, C 2 = 3, C 3 = 3 y C 4 = 1.
Entonces, de esta manera, podemos expandir nuestras expresiones binomiales.
Para cualquier expresión binomial, (x + a) n las expansiones vienen dadas por,
(a + b) norte = do 0 un norte segundo 0 + do 1 un norte-1 segundo 1 + do 2 un norte-2 segundo 2 + …. + c norte-1 un 1 segundo norte-1 + c norte un 0 segundo norte
Los coeficientes vienen dados por la fila n+1 del triángulo de Pascal.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Expande y verifica (a + b) 2 .
Solución:
Primero escribe las expresiones genéricas sin los coeficientes.
(a + b) 2 = do 0 un 2 segundo 0 + do 1 un 1 segundo 1 + do 2 un 0 segundo 2
Ahora construyamos un triángulo de Pascal de 3 filas para encontrar los coeficientes.
Los valores de la última fila nos dan el valor de los coeficientes.
do 0 = 1, do 1 = 2, do 2 = 1
(a + b) 2 = un 2 segundo 0 + 2a 1 segundo 1 + un 0 segundo 2
Así comprobado.
Pregunta 2: Expande (a + b) 4 .
Solución:
Primero escribe las expresiones genéricas sin los coeficientes.
(a + b) 4 = do 0 un 4 segundo 0 + do 1 un 3 segundo 1 + do 2 un 2 segundo 2 + do 3 un 1 segundo 3 + do 4 un 0 segundo 4
Ahora construyamos un triángulo de Pascal de 5 filas para encontrar los coeficientes.
Los valores de la última fila nos dan el valor de los coeficientes.
c 0 = 1, c 1 = 4, c 2 = 6, c 3 = 4 y c 4 = 1.
Así, (a + b) 4 = a 4 b 0 + 4a 3 b 1 +6a 2 b 2 + 4a 1 b 3 + a 0 b 4
Pregunta 3: Expande (a + b) 5 .
Solución:
Primero escribe las expresiones genéricas sin los coeficientes.
(a + b) 5 = do 0 un 5 segundo 0 + do 1 un 4 segundo 1 + do 2 un 3 segundo 2 + do 3 un 2 segundo 3 + do 4 un 1 segundo 4 + do 5 un 0 segundo 5
Ahora construyamos un triángulo de Pascal de 6 filas para encontrar los coeficientes.
Los valores de la última fila nos dan el valor de los coeficientes.
c 0 = 1, c 1 = 5, c 2 = 10, c 3 = 10, c 4 = 5 y c 5 = 1.
(a + b) 5 = un 5 segundo 0 + 5a 4 segundo 1 + 10a 3 segundo 2 + 10a 2 segundo 3 + 5a 1 segundo 4 + un 0 segundo 5
Pregunta 4: Expande (a + b) 6 .
Solución:
Primero escribe las expresiones genéricas sin los coeficientes.
(a + b) 6 = do 0 un 6 segundo 0 + do 1 un 5 segundo 1 + do 2 un 4 segundo 2 + do 3 un 3 segundo 3 + do 4 un 2 segundo 4 + do 5 un 1 segundo 5 + do 6 un 0 segundo 6
Ahora construyamos un triángulo de Pascal de 7 filas para encontrar los coeficientes.
Los valores de la última fila nos dan el valor de los coeficientes.
c 0 = 1, c 1 = 6, c 2 = 15, c 3 = 20, c 4 = 15, c 5 = 6 y c 6 = 1.
(a + b) 6 = 1a 6 segundo 0 + 6a 5 segundo 1 + 15a 4 segundo 2 + 20a 3 segundo 3 + 15a 2 segundo 4 + 6a 1 segundo 5 + 1a 0 segundo 6
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA