CGU-NET | UGC NET CS 2018 Julio – II | Pregunta 89

¿Cuál de las siguientes es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las funciones de Z a Z?
(A) {(f, g) | f (x)−g (x) = 1 x ∈ Z}
(B) {(f, g) | f (0) = g (0) o f (1) = g (1)}
(C) {(f, g) | f (0) = g (1) y f (1) = g (0)}
(D) {(f, g) | f (x)−g (x) = k para alguna k ∈ Z }

Respuesta: (D)
Explicación: (A) Esta relación no tiene ninguna de las tres propiedades. No es reflexivo, ya que f(x) – f(x) = 0 ≠ 1. No es simétrico, ya que si j(x)- g(x) = 1, entonces g(x)- f(x) = -1 ≠ 1. No es transitiva, ya que si f(x)- g(x) = 1 y g(x) – h(x) = 1, entonces f(x) – h(x) = 2 ≠ 1 .

(B) Esta no es una relación de equivalencia porque no es transitiva. Sean f(x) = 0, g(x) = x, y h(x) = 1 para todo x E Z. Entonces f está relacionada entre sí ya que f(0) = g(0), y g está relacionada con h ya que g(1) = h(1), pero f no está relacionada con h ya que no tienen valores en común. Por inspección vemos que esta relación es reflexiva y simétrica.

(C) Esta relación no es reflexiva, ya que hay muchas funciones f (por ejemplo, f(x) = x) que no tienen la propiedad de que f(0) = f(1). Es simétrico por inspección (los roles de f y g son los mismos). No es transitivo. Por ejemplo, sea f(0) = g(1) = h(0) = 7, y sea f(0) = g(0) = h(1) = 3; complete los valores restantes arbitrariamente. Entonces f y g están relacionadas, como lo están g y h, pero f no está relacionada con h ya que 7 ≠ 3.

(D) Esta es una relación de equivalencia. Dos funciones están relacionadas aquí si difieren en una constante. Es claramente reflexivo (la constante es 0). Es simétrico, ya que si f (x) – g(x) = k, entonces g(x) – f (x) = -k. Es transitiva, ya que si f(x) – g(x) = k1 y g(x) – h(x) = k2, entonces f(x) – h(x) = k3, donde k3 = k1 + k2 ( suma las dos primeras ecuaciones).

Entonces, la opción (D) es correcta.

UGC ha tomado esta pregunta de Kenneth Rosen- 7ª edición (Página-615, Pregunta-3, Capítulo- 9.5 Relaciones de equivalencia).
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