Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección. Los vectores nos permiten describir las cantidades que tienen dirección y magnitud. Por ejemplo, velocidad y posición. Estas cantidades son útiles para describir el movimiento y la posición de una partícula que se mueve en un plano. Todos los vectores siguen las leyes de la suma del paralelogramo y la ley del triángulo. Estas leyes nos permiten realizar operaciones aritméticas sobre los vectores. La posición y el cambio de posición (indicado por el desplazamiento) son las entidades que usan estos conceptos para describir el movimiento de una partícula. Vamos a entenderlos en detalle.
Escalares y Vectores
En física, las cantidades se clasifican en términos de vectores y escalares. La diferencia entre ellos es que las cantidades que tienen direcciones junto con su magnitud asociada con ellas se llaman vectores. Una cantidad escalar es simplemente magnitud. En el caso de las cantidades escalares, las operaciones aritméticas como la suma, la resta o la multiplicación se realizan de la misma forma que con los números reales. Por ejemplo, la suma de dos cantidades escalares con valores 0,1 y 0,3 se da como 0,4. Estas reglas no se aplican a cantidades vectoriales. Su suma y resta no son tan simples como las cantidades escalares.
La siguiente tabla muestra algunos ejemplos de cantidades escalares y vectoriales.
| Cantidades escalares | Cantidades vectoriales |
| Longitud | Velocidad |
| Velocidad | Fuerza |
| Masa | Peso |
| Densidad | Presión |
| Energía | Aceleración |
Leyes de Suma y Resta de Vectores
No se pueden sumar dos vectores mediante los procedimientos aritméticos habituales, ya que los vectores contienen direcciones. Estos vectores se pueden sumar usando las leyes de la suma de vectores. Para dos vectores P y Q, su suma viene dada por el vector R,
Si el ángulo entre los dos vectores es
por
Movimiento en un plano
Cuando un objeto se mueve en un plano, cambia su posición y es esencial definir cantidades que puedan usarse para describir dónde está el objeto en el plano. El movimiento también requiere dirección. Por ejemplo, suponga que un objeto se mueve como se muestra en la siguiente figura. Ahora, para describir la posición del objeto, se requieren dos cosas: dirección y distancia desde el origen. Simplemente decir que el objeto está a una distancia de 5 m del origen no es suficiente.
Este objeto se describirá como 5 m en dirección noreste. Por lo tanto, para indicar la posición de un objeto, se requiere un vector. Este vector se llama vector de posición. El siguiente diagrama muestra la trayectoria de un objeto que se mueve en el plano. Sean P y P’ las posiciones del objeto en el instante “ t ” y “ t’ ”. La siguiente figura muestra la posición P y P’ con respecto al origen.
Cuando los puntos P y P’ están unidos por una recta con origen O. Los segmentos de recta OP y OP’ denotan los vectores de posición. El vector OP se denota por r y OP’ se denota por r’. Si el objeto se mueve de P a P’ en el tiempo “t”. Entonces, el desplazamiento viene dado por el vector de cambio de posición. El vector que denota el vector de cambio de posición también se llama vector de desplazamiento.
Nota: El vector de desplazamiento solo depende de los vectores de posición inicial y final. Si un objeto recorre una trayectoria y vuelve a la misma posición inicial, en ese caso se considera que el desplazamiento es cero. La figura de arriba muestra un objeto que viaja a lo largo de un camino largo y regresa al mismo punto. En este caso, el desplazamiento es cero.
La magnitud del vector desplazamiento es menor o igual a la distancia recorrida por la partícula entre sus posiciones inicial y final.
Suponga que una partícula viaja del punto A al punto B a lo largo del camino recorrido como se muestra en la figura anterior. En este caso, el desplazamiento viene dado por la línea que une los dos puntos. Así, se puede decir que el desplazamiento entre dos puntos es la distancia más corta entre esos puntos.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Digamos A = 4i + 3j y B = 5i + 4j. Encuentre el vector resultante de la suma de estos dos vectores.
Responder:
Dado:
A = 4i + 3j
B = 5i + 4j.
La resultante de estos dos vectores viene dada por,
Reemplazando los vectores en esta ecuación,
Pregunta 2: Digamos A = 5i + 5j y B = 3i + 3j. Encuentre el vector resultante de la suma de estos dos vectores.
Responder:
Dado:
A = 5i + 5j
B = 3i + 3j.
La resultante de estos dos vectores viene dada por,
Reemplazando los vectores en esta ecuación,
Pregunta 3: Digamos que hay dos vectores A y B, donde |A| = 3 y |B| = 4 y el ángulo entre ellos está dado por 60°. Encuentre la magnitud y la dirección del vector resultante.
Responder:
Dado:
|A| = 3
|B| = 4.
θ = 60°
La resultante de estos dos vectores viene dada por,
R2 = |A| 2 + |B| 2 + 2|A||B|cos(θ)
El ángulo viene dado por, θ = tan -1 (
Reemplazando los vectores en estas ecuaciones,
R2 = |A| 2 + |B| 2 + 2|A||B|cos(θ)
⇒ R 2 = 3 2 + 4 2 + 2(3)(4)cos(60)
⇒ R2 = 25 + 12
⇒ R2 = 37
⇒ R = √37
θ = bronceado -1 (
⇒ θ = tan -1 (
⇒ θ = 53°
Pregunta 4: Digamos que hay dos vectores A y B, donde |A| = 24 y |B| = 10 y el ángulo entre ellos está dado por 90°. Encuentre la magnitud y la dirección del vector resultante.
Responder:
Dado:
|A| = 24
|B| = 10.
θ = 90°
La resultante de estos dos vectores viene dada por,
R2 = |A| 2 + |B| 2 + 2|A||B|cos(θ)
El ángulo viene dado por, θ = tan -1 (
Reemplazando los vectores en estas ecuaciones,
R2 = |A| 2 + |B| 2 + 2|A||B|cos(θ)
⇒ R 2 = 24 2 + 10 2 + 2(24)(10)cos(90)
⇒ R2 = 576 + 100
⇒ R2 = 676
⇒ R = 26
θ = bronceado -1 (
⇒ θ = tan -1 (
Pregunta 5: El vector de posición de la partícula que se mueve en un plano está dado por,
r = t 2 i + 3tj
Encuentre el desplazamiento entre t = 1 y t = 4 segundos.
Responder:
El desplazamiento sólo depende de la posición inicial y final de la partícula.
Dado:
r = t 2 i + 3tj
en t = 1
r yo = yo + 3j
En t = 4
r f = 16i + 12j
El desplazamiento entre estas posiciones vendrá dado por la diferencia de sus vectores de posición.
r = r f – r yo
⇒r = 16i + 12j -(i + 3j)
⇒ r = 15i + 9j
Pregunta 6: El vector de posición de la partícula que se mueve en un plano está dado por,
r = t 2 i + 3tj
Encuentre el desplazamiento entre t = 1 y t = 4 segundos.
Responder:
El desplazamiento sólo depende de la posición inicial y final de la partícula.
Dado:
r = t 2 i + 3tj
en t = 1
r yo = yo + 3j
En t = 4
r f = 16i + 12j
El desplazamiento entre estas posiciones vendrá dado por la diferencia de sus vectores de posición.
r = r f – r yo
⇒r = 16i + 12j -(i + 3j)
⇒ r = 15i + 9j
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA