La geometría se ha originado a partir de una variedad de civilizaciones. Casi todas las civilizaciones importantes han estudiado y utilizado la geometría en su mejor momento. Las civilizaciones egipcia e india estaban más enfocadas en usar la geometría como herramienta. Euclid vino y cambió la forma en que la gente solía pensar en geometría. En lugar de convertirla en una herramienta, pensó en la geometría como un modelo abstracto del mundo en el que vivía.
Geometría euclidiana
Según Euclides,
“Un sólido tiene forma, tamaño, posición y se puede mover de un lugar a otro. Sus límites se denominan superficies. Separan una parte del espacio de otra y se dice que no tienen espesor. Los límites de las superficies son líneas curvas o rectas. Estas líneas terminan en puntos.”
Partiendo de estas definiciones, asumió ciertas propiedades que no debían probarse. Fueron denominados como » Verdad Universal Obvia «. Los dividió en dos tipos,
- Postulado: Son supuestos propios de la geometría.
- Axioma: Suelen ser nociones comunes.
Veamos rápidamente los axiomas de Euclides.
- Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.
- Si se suman iguales a iguales, los enteros son iguales.
- Si se restan iguales de iguales, los residuos son iguales.
- Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
- El todo es mayor que la parte.
- Las cosas que son dobles de las mismas cosas son iguales entre sí.
- Las cosas que son mitades de las mismas cosas son iguales entre sí.
La mayoría de estos axiomas se explican por sí mismos.
Postulados de Euclides
Postulado 1: Se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.
Postulado 2: Dados dos puntos distintos, existe una única recta que los atraviesa.
Postulado 2: Una línea terminada se puede producir indefinidamente.
Postulado 3: Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Postulado 5: Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado tomados juntos sean menores que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas, si se produjeran indefinidamente, se encontrarían en el lado en el que la suma de los ángulos es menor que dos ángulos rectos.
La mayoría de estos postulados son bastante simples y sencillos de pensar excepto el postulado 5. Veamos sus explicaciones y sus versiones equivalentes en detalle.
Versiones equivalentes del quinto postulado
El quinto postulado establece que,
“Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado tomados juntos sean menores que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas, si se produjeran indefinidamente, se encontrarán en el lado en que la suma de los ángulos es menor que dos ángulos rectos.”
Este postulado ocupa un lugar significativo en la historia de las matemáticas.
Podemos ver en la figura que ambos ángulos interiores miden menos de 90°. Entonces, su suma debe ser menor que 180°. Entonces, cuando se extienden, se cruzan en un punto particular. Esto no sucederá si los ángulos internos son de 90° o mayores de 90°.
Hay más de una versión equivalente de este postulado, una de ellas se llama Axioma de Playfair .
Axioma de Playfair
“Por cada línea “l” y por cada punto “P” que no está sobre “l”, existe una única línea “m” que pasa por P y es paralela a “l”.
De la figura anterior, podemos ver que hay varias líneas que pasan por P, pero solo hay una línea que lo atraviesa y es paralela a «l».
También podemos reescribir esta declaración en otra forma,
“Dos rectas distintas que se cortan no pueden ser paralelas a la misma recta”.
Nota (Hecho): Euclides no requirió el quinto postulado para probar sus primeros 28 teoremas. Muchos matemáticos, incluido Euclides, estaban convencidos de que el quinto postulado es en realidad un teorema que no se puede demostrar. Se hicieron varios intentos pero ninguno pudo probar el quinto postulado.
Problemas de muestra
Veamos algunos ejemplos con respecto a estos postulados y axiomas,
Pregunta 1: El salario de Harsh es igual al salario de Ram. Debido a la recesión de Covid-19, los salarios de Harsh y Ram se reducen a la mitad. El salario final de Ram seguirá siendo igual al de Harsh. esto es según
- 1er Axioma .
- 7º Axioma .
- 6º Axioma .
- 2º Axioma .
Responder:
El 7mo Axioma establece que,
“ Las cosas que son mitades de las mismas cosas son iguales entre sí”.
Este axioma se puede aplicar aquí directamente. Por lo tanto, la respuesta es (2).
Pregunta 2: Los límites de los sólidos son:
- Líneas
- Puntos
- Superficie
- Curvas
Responder:
Según la definición de Euclides,
“Un sólido tiene forma, tamaño, posición y se puede mover de un lugar a otro. Sus límites se denominan superficies. Separan una parte del espacio de otra y se dice que no tienen espesor. Los límites de las superficies son curvas o líneas rectas. Estas líneas terminan en puntos.”
Esta definición establece que los límites de los sólidos se denominan superficies.
Por lo tanto, la respuesta es (3).
Pregunta 3: En la figura que se muestra a continuación, el segmento de línea tiene PS = RQ. Demostrar que PR = SQ.
Responder:
Dado que PS = RQ
De la figura podemos decir,
PS = PR + RS
QR = RS + SQ
Del axioma de Euclides número 3 mencionado anteriormente, sabemos que
«Si se restan iguales de iguales, los residuos también son iguales».
Ya que, PS = QR
Restando RS de ambos lados.
⇒ PS – RS = QR – RS
⇒ PR = QS
Pregunta 4: Se sabe que a + b = 18, y a = c. Demuestra que c + b = 18.
Responder:
Se sabe por los axiomas de Euclides estudiados anteriormente,
“Si se suman iguales a iguales, los todos son iguales”.
Las ecuaciones dadas son,
a + b = 18 ….. (1),
Y a = c….. (2)
De las ecuaciones (1) y (2), obtenemos.
a + b = c + b ….(3)
Ahora de la ecuación (1) y la ecuación (3).
Podemos concluir que
b + c = 18.
Pregunta 5: Se sabe a + b = 11, entonces a + b + c = 11 + c. El axioma de Euclides que ilustra esta declaración es,
- 1er axioma .
- 3er axioma _
- 4 to axioma
- 2do axioma _
Responder:
El segundo axioma de Euclides mencionado anteriormente establece que,
“Si se suman iguales a iguales, los todos son iguales”.
Este axioma se puede aplicar aquí. Entonces, la respuesta es (4).
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA