En geometría, una pirámide es una forma tridimensional cuya base es un polígono, y todas sus caras triangulares se unen en un punto común llamado vértice. Una pirámide se forma uniendo todos los lados de la base de un polígono a un vértice. Las pirámides de Egipto son ejemplos reales de pirámides. Hay diferentes tipos de pirámides según la forma de la base de la pirámide. Los diferentes tipos de pirámides son pirámides triangulares, pirámides cuadradas, pirámides rectangulares, pirámides pentagonales, etc. Las caras laterales de cualquier tipo de pirámide son triangulares, y un lado de cada cara triangular se fusiona con el lado de la base. La parte superior de la pirámide se llama vértice y las caras laterales se llaman caras laterales de una pirámide.
El volumen de una pirámide.
El volumen de una pirámide se refiere al espacio total encerrado entre todas las caras de una pirámide; en palabras simples, el espacio total dentro de una pirámide cerrada. La fórmula para el volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base y la altura de la pirámide y generalmente se representa con la letra «V».
La fórmula para el volumen de una pirámide se da de la siguiente manera,
El volumen de una pirámide = 1/3 × área de la base × altura
V = 1/3 AH unidades cúbicas
Donde V es el volumen de la pirámide,
A es el área de la base de la pirámide y
H es la altura o altitud de una pirámide.
Derivación del volumen de una pirámide.
Consideremos una pirámide rectangular y un prisma donde la base y la altura de la pirámide y el prisma son las mismas. Ahora toma una pirámide rectangular llena de agua y vierte el agua en el prisma vacío. Podemos observar que solo un tercio de un prisma está lleno. Entonces, repita el experimento una vez más, y notaremos que todavía hay algo de espacio vacío en el prisma. Una vez más, repite el experimento, y esta vez podemos notar que el prisma está lleno hasta el borde. Por lo tanto, el volumen de una pirámide es igual a un tercio del volumen de un prisma si la base y la altura de la pirámide y el prisma son iguales. Asi que,
El volumen de un prisma = 3 × [Volumen de una pirámide]
es decir,
El volumen de una pirámide = (1/3) × [Volumen de un prisma]
Lo sabemos,
El volumen de un prisma = AH unidades cúbicas
Por eso,
Volumen de una pirámide (V) = (1/3) AH unidades cúbicas
A es el área de la base de la pirámide y H es la altura o altitud de una pirámide.
El volumen de una pirámide triangular.
La pirámide que tiene una base triangular se llama pirámide triangular. Una pirámide triangular tiene tres caras triangulares y una base triangular, donde la base triangular puede ser equilátera, isósceles o un triángulo escalar. Una pirámide triangular también se conoce como tetraedro. Se da la fórmula para el volumen de la pirámide triangular,
El volumen de la pirámide triangular = 1/3 AH unidades cúbicas
Donde H es la altura de la pirámide y A es el área de la base
Lo sabemos,
Área de un triángulo = 1/2 b × h
Donde b es la longitud de la base del triángulo y h es su altura.
Ahora, el volumen de la pirámide triangular (V)= 1/3 (1/2 b × h)H unidades cúbicas
V = 1/6 bhH unidades cúbicas
Por eso,
El volumen de la pirámide triangular (V)= 1/6 bhH unidades cúbicas
El volumen de una pirámide cuadrada.
La pirámide que tiene una base cuadrada se llama pirámide cuadrada. Una pirámide cuadrada tiene cuatro caras triangulares y una base cuadrada. Se da la fórmula para el volumen de la pirámide cuadrada,
El volumen de la pirámide cuadrada = 1/3 AH unidades cúbicas
Donde H es la altura de la pirámide y A es el área de la base
Área de un cuadrado = un 2
Donde a es la longitud del lado del cuadrado.
Ahora, el volumen de la pirámide cuadrada (V)= 1/3 (a 2 ) H unidades cúbicas
V = (1/3) a 2 H unidades cúbicas
Por eso,
El volumen de la pirámide cuadrada (V)= (1/3) a 2 H unidades cúbicas
El volumen de una pirámide rectangular.
La pirámide que tiene una base rectangular se llama pirámide rectangular. Una pirámide rectangular tiene cuatro caras triangulares y una base rectangular. Se da la fórmula para el volumen de la pirámide rectangular,
El volumen de la pirámide rectangular = 1/3 AH unidades cúbicas
Donde H es la altura de la pirámide y A es el área de la base
Área de un rectángulo = l × a
Donde l es la longitud del rectángulo y w es su ancho.
Ahora, el volumen de la pirámide rectangular (V)= 1/3 (l × w) H unidades cúbicas
V = 1/3 (largo × ancho × alto) unidades cúbicas
Por eso,
El volumen de la pirámide rectangular (V)= 1/3 (l× w × H) unidades cúbicas
El volumen de una pirámide pentagonal.
La pirámide que tiene una base pentagonal se llama pirámide pentagonal. Una pirámide pentagonal tiene cinco caras triangulares y una base pentagonal. Se da la fórmula para el volumen de la pirámide pentagonal,
El volumen de la pirámide pentagonal = 1/3 AH unidades cúbicas
Donde H es la altura de la pirámide y A es el área de la base
Área de un pentágono = (5/2) S × a
Donde S es la longitud del lado de un pentágono y a es la longitud de su apotema.
Ahora, el volumen de la pirámide pentagonal (V)= 1/3 (5/2 S × a) H unidades cúbicas
V = 5/6 aSH unidades cúbicas
Por eso,
El volumen de la pirámide pentagonal (V)= 5/6 aSH unidades cúbicas
El volumen de una pirámide hexagonal.
La pirámide que tiene una base hexagonal se llama pirámide hexagonal. Una pirámide hexagonal tiene seis caras triangulares y una base hexagonal. Se da la fórmula para el volumen de la pirámide hexagonal,
El volumen de la pirámide hexagonal = 1/3 AH unidades cúbicas
Donde H es la altura de la pirámide y A es el área de la base
Área de un hexágono = 3√3/2 a 2
Donde a es la longitud del lado del hexágono.
Ahora, el volumen de la pirámide hexagonal (V)= 1/3 (3√3/2 a 2 ) H unidades cúbicas
V = √3/2 a 2 H unidades cúbicas
Por eso,
El volumen de la pirámide hexagonal (V)= √3/2 a 2 H unidades cúbicas
Problemas de muestra
Problema 1: ¿Cuál es el volumen de una pirámide cuadrada si los lados de una base miden 6 cm cada uno y la altura de la pirámide es de 10 cm?
Solución:
Dados los datos,
Longitud del lado de la base de una pirámide cuadrada = 6 cm
Altura de la pirámide = 10 cm.
El volumen de una pirámide cuadrada (V) = 1/3 × Área de la base cuadrada × Altura
Área de la base cuadrada = a 2 = 6 2 = 36 cm 2
V = 1/3 × (36) ×10 = 120 cm3
Por lo tanto, el volumen de la pirámide cuadrada dada es de 120 cm 3 .
Problema 2: ¿Cuál es el volumen de una pirámide triangular cuya base y altura son 120 cm 2 y 13 cm, respectivamente?
Solución:
Dados los datos,
Área de la base triangular = 120 cm 2
Altura de la pirámide = 13 cm
El volumen de una pirámide triangular (V) = 1/3 × Área de la base triangular × Altura
V = 1/3 × 120 × 13 = 520 cm3
Por lo tanto, el volumen de la pirámide triangular dada = es 520 cm 3
Problema 3: ¿Cuál es el volumen de una pirámide triangular si la longitud de la base y la altura de la base triangular son 3 cm y 4,5 cm, respectivamente, y la altura de la pirámide es 8 cm?
Solución:
Dados los datos,
Altura de la pirámide = 8 cm
Largo de la base de la base triangular = 3 cm
Longitud de la altura de la base triangular = 4,5 cm
Área de la base triangular (A) = 1/2 b × h = 1/2 × 3 × 4,5 = 6,75 cm 2
El volumen de una pirámide triangular (V) = 1/3 × A × H
V = 1/3 × 6,75 × 8 = 18 cm3
Por lo tanto, el volumen de la pirámide triangular dada es de 18 cm 3
Problema 4: ¿Cuál es el volumen de una pirámide rectangular si el largo y el ancho de la base rectangular son 8 cm y 5 cm, respectivamente, y la altura de la pirámide es 14 cm?
Solución:
Dados los datos,
Altura de la pirámide = 14 cm
Largo de la base rectangular (l) = 8 cm
Ancho de la base rectangular (w) = 5 cm
Área de la base rectangular (A) = l × a = 8 × 5 = 40 cm 2
Tenemos,
El volumen de una pirámide rectangular (V) = 1/3 × A × H
V = 1/3 × 40 × 14 = 560/3 = 186,67 cm3
Por lo tanto, el volumen de la pirámide rectangular dada es 186,67 cm 3 .
Problema 5: ¿Cuál es el volumen de una pirámide hexagonal si los lados de una base miden 8 cm cada uno y la altura de la pirámide es de 15 cm?
Solución:
Dados los datos,
Altura de la pirámide = 15 cm
Longitud del lado de la base de una pirámide hexagonal = 6 cm
Área de la base hexagonal (A) = 3√3/2 a 2 = 3√3/2 (6) 2 = 54√3 cm 2
El volumen de una pirámide hexagonal (V) = 1/3 × A × H
V = 1/3 × 54√3 × 15 = 270√3 cm3
Por lo tanto, el volumen de la pirámide hexagonal dada es 270√3 cm 3 .
Problema 6: ¿Cuál es el volumen de una pirámide pentagonal si el área de la base es de 150 cm 2 y la altura de la pirámide es de 11 cm?
Solución:
Dados los datos,
Área de la base pentagonal = 150 cm 2
Altura de la pirámide = 11 cm
El volumen de una pirámide pentagonal (V) = 1/3 × Área de la base pentagonal × Altura
V = 1/3 × 150 × 11 = 550 cm3
Por lo tanto, el volumen de la pirámide pentagonal dada = 550 cm 3
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Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA