¿Cuál es la fórmula para encontrar ángulos?

En geometría, un ángulo es una medida esencial de una forma geométrica. Un ángulo se define como el grado de rotación alrededor del punto de intersección entre dos líneas o planos que se requieren para poner una en correspondencia con la otra. Hay varios tipos de ángulos, basados ​​en la medida de un ángulo. Se mide en términos de grados o radianes. Un ángulo es una forma formada por dos líneas o rayos que divergen de un punto común llamado vértice. Cuando se cortan dos rayos, es decir, cuando se proyectan semirrectas con un extremo común, se forma un ángulo. Ahora, los extremos comunes se llaman vértices, mientras que los rayos se conocen como brazos.

Tipos de ángulos

1. Ángulo agudo: Un ángulo agudo es un ángulo que es mayor a 0 grados y menor a 90 grados, es decir, va de 0° a 90° (ambos excluyentes).
2. Ángulo recto: Un ángulo recto se conoce como el ángulo que mide exactamente 90 grados.
3. Ángulo obtuso: Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90 grados y menos de 180 grados, es decir, oscila entre 90° y 180° (ambos excluyentes).
4. Ángulo recto: Un ángulo recto se conoce como un ángulo que mide exactamente 180 grados.
5. Ángulo reflejo: Un ángulo reflejo es un ángulo mayor de 180 grados y menor de 360 ​​grados, es decir, oscila entre 180° y 360° (ambos excluyentes).
6. Un ángulo completo o rotación completa: un ángulo completo se conoce como el ángulo que mide exactamente 360 ​​grados.

También existen otros tipos de ángulos, como los ángulos complementarios, los ángulos suplementarios y los ángulos adyacentes y no adyacentes.

• Ángulos complementarios: Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto, es decir, 90°.
• Ángulos suplementarios: Se dice que dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180°.
• Ángulos adyacentes: Se dice que dos ángulos son adyacentes si comparten un vértice común y un brazo común. 
• Ángulos no adyacentes: se dice que dos ángulos no son adyacentes si no comparten un vértice común y un brazo común. 

La fórmula para encontrar ángulos

Hay varios tipos de fórmulas para encontrar un ángulo; algunas de ellas son la fórmula del ángulo central, la fórmula del ángulo doble, la fórmula del medio ángulo, la fórmula del ángulo compuesto, la fórmula del ángulo interior, etc.

• Usamos la fórmula del ángulo central para determinar el ángulo de un segmento hecho en un círculo.
• Usamos la fórmula de la suma de los ángulos interiores para determinar el ángulo que falta en un polígono.
• Usamos las razones trigonométricas para encontrar el ángulo faltante de un triángulo rectángulo.
• Usamos la ley de los senos o la ley de los cosenos para encontrar el ángulo faltante de un triángulo que no es un ángulo recto.

Nombre de la fórmula	Fórmula	¿Cómo encontrar un ángulo desconocido?
Fórmula del ángulo central	θ =(s × 360°)/2πr Aquí, s es la longitud del arco y r es el radio del círculo	Sustituye los valores de la longitud del arco y el radio del círculo para determinar el ángulo de un segmento formado en un círculo.
Fórmula de la suma de los ángulos interiores	180°(n-2) Aquí, n es el número de lados de un polígono	Para determinar el ángulo interior desconocido de un polígono, primero calcula la suma de todos los ángulos interiores usando esta fórmula y luego resta la suma de todos los ángulos conocidos del resultado.
razones trigonométricas	sen θ = lado opuesto/hipotenusa cos θ = lado adyacente/hipotenusa tan θ = lado opuesto/lado adyacente	Dependiendo de los dos lados disponibles de un triángulo rectángulo, elige una de estas razones trigonométricas para encontrar el ángulo desconocido.
Ley de los senos	a/sen A = b/sen B = c/sen C Aquí A, B y C son los ángulos interiores de un triángulo y a, b y c son sus respectivos lados opuestos.	Cuando conocemos dos lados y un ángulo no incluido (o) dos ángulos y un lado no incluido, entonces se puede usar la ley de los senos para determinar los ángulos desconocidos de un triángulo.
ley de los cosenos	a 2 = b 2 + c 2 – 2bc porque A b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos B c 2 = a 2 + b 2 – 2ab porque C Aquí A, B y C son los ángulos interiores de un triángulo y a, b y c son sus respectivos lados opuestos.	Cuando conocemos tres lados (o) dos lados y un ángulo incluido, entonces se puede usar la ley de los cosenos para determinar los ángulos desconocidos de un triángulo.

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1: Encuentra el ángulo en el vértice B del triángulo dado usando una de las fórmulas trigonométricas para encontrar ángulos.

Solución: 

Dado,

BC = 3 unidades = Lado adyacente de θ.

AC = 4 unidades = Lado opuesto de θ.

En este caso, conocemos los lados opuesto y adyacente de θ. Por lo tanto, podemos usar la fórmula de la tangente para encontrar θ.

⇒ tan θ = lado opuesto/lado adyacente

⇒ tan θ = 4/3

⇒ θ = tan ^-1 (4/3) ⇒ θ = 53,1°

Por lo tanto, el ángulo en el vértice B es de 53,1°.

Pregunta 2: Encuentra los ángulos en los vértices X e Y, si ∠Z = 35° y x = 3 pulgadas, y = 8 pulgadas y z = 3,5 pulgadas.

Solución:

Dado,

∠Z = 35° y x = 6 pulgadas, y = 3 pulgadas y z = 3,5 pulgadas

Como conocemos los tres lados y un ángulo, podemos usar la fórmula de la regla del seno.

De la fórmula de la regla del seno, tenemos

x/sen X = y/sen Y = z/sen Z

Ahora,

y/ sen Y = z/ sen Z

⇒ 3/sen Y = 3,5/sen 35°

⇒ 3/sen Y = 3,5/0,574    {Ya que, sen 35° = 0,574}

⇒ sen Y = 3 × (0,574/3,5) = 0,492

⇒ ∠Y = sen ⁻¹ (0,492) = 29,47°

Sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°.

⇒ ∠X + ∠Y + ∠Z = 180°

⇒ ∠X + 29,47° + 35° = 180°

⇒ ∠X = 180° – 64,47° = 115,53°

Por lo tanto, ∠X = 115,53° y ∠Y = 29,47°.

Pregunta 3: Calcula el quinto ángulo interior de un pentágono si cuatro de sus ángulos interiores son 110°, 85°, 136° y 105°.

Solución:

El número de lados de un pentágono (n) = 5.

Ahora, la suma de los 5 ángulos interiores de un pentágono = 180 (n -2)° 

= 180 (5 – 2)° = 540°.

La suma de los 4 ángulos interiores dados = 110°+ 85°+ 136°+ y 105°= 436°.

Entonces, el quinto ángulo interior = 540° – 436° = 104°

Así, el quinto ángulo interior de un pentágono es 104°.

Pregunta 4: Determina el valor de y y también la medida de los ángulos en la figura dada.

Solución:

De la figura dada, podemos observar que (4y – 6)° y (3y + 5)° son ángulos complementarios, es decir, la suma de (4y – 6)° y (3y + 5)° es 90 °.

⇒ (4y – 6)° + (3y + 5)° = 90°

⇒ (7y – 1)° = 90°

⇒ 7y = 90° + 1° = 91°

⇒ y = 91°/7 = 13°

Ahora, (4y – 6)° = (4 ×13 – 6)° = (52 – 6)° = 46°

(3y + 5)° = (3 × 13 + 5)° = (39 + 5)° = 44°

Pregunta 5: Encuentra el ángulo en el vértice Q en el triángulo dado usando una de las fórmulas para encontrar ángulos.

Solución:

Dado, p = QR = 6 cm, q = PR = 9 cm y r = PQ = 7 cm.

Como conocemos los tres lados y un ángulo, podemos usar la fórmula de la regla del coseno para encontrar el vértice del ángulo Q.

⇒ q ² = p ² + r ² – 2pr cos Q

⇒ 9 ² = 6 ² + 7 ² – 2 (6)(7) porque Q

⇒ 81 = 36 + 49 – 84 porque Q

⇒ 81 = 85 – 84 cos Q

⇒84 porque Q = 81 – 85

⇒ 84 porque Q = -4 

⇒ porque Q = -4/84 = -1/21

⇒ ∠Q = cos ^-1 (-1/21) = 92,72°

Por lo tanto, el ángulo en el vértice Q, ∠Q = 92,72°.

Pregunta 6: Calcula el ángulo de un segmento formado en un círculo si la longitud del arco es 12π y el radio es 9 cm.

Solución: 

Dado,

La longitud del arco = 12π

Radio (r) = 9 cm

Ahora, la fórmula del ángulo es:

⇒ θ = (s×360°)/2πr

⇒ θ = (12π × 360°)/(2π × 5)

⇒ θ =12 ×360°/10

⇒ θ = 240°

Por lo tanto, el ángulo es de 240°.