En matemáticas, secuencia y serie son los conceptos fundamentales de la aritmética. Una secuencia también se conoce como progresión, que se define como una disposición sucesiva de números en un orden de acuerdo con algunas reglas específicas. Una serie se forma sumando los elementos de una sucesión. Consideremos un ejemplo para comprender mejor el concepto de secuencia y serie. 1, 3, 5, 7, 9 es una sucesión de cinco términos, mientras que su serie correspondiente es 1 + 3 + 5 + 7 + 9, cuyo valor es 25. Las sucesiones y series se clasifican en distintos tipos según el conjunto de reglas que se utilizan para formarlos.
Definición de secuencias y series
Una secuencia se define como una disposición sucesiva de números en un orden de acuerdo con algunas reglas específicas. Sean x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,… los términos de una sucesión, donde 1, 2, 3, 4,… representa la posición del término en la sucesión dada.
- Dependiendo del número de términos en una secuencia, se clasifica en dos tipos, a saber, una secuencia finita y una secuencia infinita.
- Una serie se forma sumando los elementos de una sucesión.
Si x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , ……. es la sucesión dada, entonces su serie correspondiente está dada por S N = x 1 +x 2 +x 3 + .. + x N
- Dependiendo de si la secuencia es finita o infinita, la serie puede ser finita o infinita.
Secuencia vs Serie
|
Secuencia |
Serie |
|---|---|
| Una secuencia se define como una disposición sucesiva de números en un orden de acuerdo con algunas reglas específicas. | Una serie se forma sumando los elementos de una sucesión. |
| Es básicamente una agrupación de componentes que siguen un patrón determinado. | Es una suma de elementos que siguen un patrón. |
| En una secuencia, el orden de los números es importante. | En una serie, el orden de los números no es importante. |
|
Ejemplo: Una secuencia aritmética finita: 3, 5, 7, 9, 11 Una secuencia geométrica infinita: 2, 4, 8, 16, …….. |
Ejemplo: Una serie aritmética finita: 3 + 5 + 7 + 9+ 11 Una serie geométrica infinita: 2 + 4 + 8 + 16 + …….. |
Tipos de secuencias y series
Las secuencias y series se clasifican en diferentes tipos. Algunos de los ejemplos más utilizados de secuencias y series son:
- Secuencias y series aritméticas
- Secuencias y Series Geométricas
- Secuencias y series armónicas
- Números de Fibonacci
Sucesiones y series aritméticas
Una secuencia aritmética es una secuencia en la que cada término de la secuencia se forma sumando o restando un término común del número anterior, y el término común se llama diferencia común. Una serie aritmética se conoce como una serie desarrollada mediante el uso de una secuencia aritmética.
Por ejemplo,
2, 5, 8, 11, 14,… es una secuencia aritmética con una diferencia común de 3, y 2 + 5 + 8 + 11 + 14 +… es la serie aritmética correspondiente.
Secuencias y Series Geométricas
Una sucesión geométrica es una sucesión en la que cada término de la sucesión se forma ya sea multiplicando o dividiendo un término común con el número anterior, y el término común se llama razón común. Una serie geométrica se conoce como una serie desarrollada mediante el uso de una secuencia geométrica. Dependiendo del número de términos en una progresión geométrica, se clasifica en dos tipos, a saber, progresión geométrica finita y progresión geométrica infinita.
Por ejemplo,
1, 5, 25, 125, 625,… es una sucesión geométrica de razón común 5, y 1 + 5 + 25 + 125 + 625 +… es su correspondiente serie geométrica.
Secuencia armónica y serie
Una secuencia armónica es una secuencia en la que cada término de la secuencia es el recíproco del elemento de una secuencia aritmética. Una serie armónica se conoce como una serie desarrollada mediante el uso de una secuencia armónica.
Por ejemplo,
2, 5, 8, 11, 14,… es una sucesión aritmética. Ahora bien, la secuencia armónica es 1/2, 1/5, 1/8, 1/11, 1/14,… y su correspondiente serie armónica es 1/2 + 1/5 + 1/8 + 1/11 + 1 /14 +…
Números de Fibonacci
Los números de Fibonacci son una secuencia de números donde cada término de la secuencia se forma sumando sus dos números anteriores, y los dos primeros términos de la secuencia son 0 y 1.
Como el primer término, F 0 , y el segundo término, F 1 de la sucesión de Fibonacci son 0 y 1, el tercer término será, F 2 = F 1 + F 0 = 1 + 0 = 1.
Similarmente,
El cuarto término, F 3 = F 2 + F 1 = 1 + 1 = 2
El quinto término, F 4 = F 3 + F 2 = 2 + 1 = 3
El sexto término, F 5 = F 4 + F 3 = 3 + 2 = 5
Por lo tanto, el (n+1) ésimo término de la sucesión de Fibonacci se puede expresar como F n = F n-1 + F n-2 .
Los números de una secuencia de Fibonacci se dan como: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 38, . . .
Fórmulas de secuencias y series
|
|
Progresión aritmética |
Progresión geométrica |
|---|---|---|
Secuencia |
a, (a + d), (a+2d), (a + 3d),………. | a, ar, ar 2 , ar 3 ,…. |
Serie |
a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) +… | a + ar + ar 2 + ar 3 +…. |
Primer periodo |
a | a |
Diferencia común o razón |
Diferencia común = Término sucesivo – Término anterior => re = un 2 – un 1 |
Razón común = Término sucesivo/Término anterior => r = ar (n-1) /ar (n-2) |
enésimo término |
a + (n-1)d | ar (n-1) |
Suma de los primeros n términos |
Sn = ( n /2)[2a + (n-1)d] |
S norte = a(1 – r norte )/(1 – r) si r < 1 S n = a(r n -1)/(r – 1) si r > 1 |
- La suma de los términos de una serie geométrica infinita viene dada por,
S norte = a/(1−r )
para |r| < 1, y no definido para |r| > 1
Problemas de muestra
Problema 1: usando la fórmula de sucesión y serie, determina el séptimo término de la sucesión geométrica dada: 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ___.
Solución:
Secuencia dada: 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ___
Ahora, a = 3, r = 1/3
Usando la fórmula para el término n de una secuencia y serie geométrica:
un n = ar (n-1)
Poniendo los valores conocidos en la fórmula:
un 7 = 3 × (1/3) (7-1)
un 7 = 3 × (1/3) 6
un 7 = (1/3) 5 = 1/243
Por tanto, el séptimo término de la serie dada es 1/243.
Problema 2: usando la fórmula de sucesión y serie, encuentra el décimo término de la sucesión aritmética 14, 10, 6, 2, -2, -6, ___.
Solución:
Secuencia dada: 14, 10, 6, 2, -2, -6, ___
Ahora, a = 14
d = 10 -14 = -4
Usando la fórmula para el enésimo término de una sucesión aritmética:
un norte = un + ( n -1) d
10 = 14 + (10 – 1)(-4 )
10 = 14 + (9)(-4 )
10 = 14 – 36 = -22
Por lo tanto, el décimo término de la sucesión es -22.
Problema 3: si p, q y r están en AP, encuentra el valor de (q 2 -pr)/(p – q) 2 .
Solución:
Dado que p, q y están en AP
Sean p, q y r ad, a, a + d.
Entonces, p = ad, q = a, r = a + d
p – q = a- d – (a + d) = -2d
(p – q) 2 = (-2d) 2 = 4d 2
q 2 = un 2
p × r = (a – d) (a + d) = (a 2 – d 2 )
q 2 – pr = un 2 – (un 2 – d 2 ) = d2
Entonces, (q 2 – pr)/(p – q) 2 = d 2 /4d 2 = 1/4
Por lo tanto, el valor (q 2 -pr)/(p – q) 2 = 1/4.
Problema 4: Encuentra la suma de la serie geométrica infinita 1, -2/3, 4/9, -8/27, 16/81___.
Solución:
Secuencia dada: 1, – 2/3, 4/9, -8/27, 16/81___
Ahora, a = 1,
La ración común de la secuencia, r = (-2/3)/1 = -2/3
Usando las fórmulas de secuencia y serie,
Suma de la serie dada = a/(1 – r)
= 1/(1 – (-2/3))
= 1/(1 + 2/3)
= 1/(5/3) = 3/5
Por lo tanto, la suma de la serie geométrica infinita es 3/5.
Problema 5: Determinar la suma de los primeros 15 términos de la sucesión 0.5, 0.55, 0.555,___ hasta 15 términos.
Solución:
Sucesión dada: 0.5, 0.55, 0.555,___hasta 15 términos
⇒ 0,5 + 0,55 + 0,555 + 0,5555, …….. hasta 15 términos
⇒ 5[0.1 + 0.11 + 0.111 + 0.1111, …….. hasta 15 términos]
⇒ (5/9)[0.9 + 0.99 + 0.999 + 0.9999, …… hasta 15 términos]
⇒ (5/9) [(1 – 0,1) + (1 – 0,01) + (1 – 0,001), …… hasta 15 términos]
⇒ (5/9) [(1 + 1 + 1 + 1, ……. hasta 15 términos) – (0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ….. hasta 15 términos)]
⇒ (5/9) [15 – (0,1) (1 – (0,1) 15 )/(1 – 0,1)]
⇒ (5/9) [15 – (0.1)(1 – (0.1) 15 )/(0.9)]
⇒ (5/9) [15 – (1/9) {1 – (0,1) 15 }] como 1 – (0,1) 15 = 1 (aprox.)
⇒ (5/9) (1/9) [134 ]
⇒ 8,27 (aprox.)
Problema 6: Determinar el enésimo término de la serie dada: 2, (2 + 4), (2 + 4 + 6), (2 + 4 + 6 + 8),…..
Solución:
Aquí al observar la secuencia,
enésimo término = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 . . . . . . . . . . . .+ 2n)
El término n es una serie aritmética en sí misma con primer término (a) = 2 y diferencia común (d) = 2
Ahora,
La suma de n términos de una progresión aritmética es (n/2)[2a + (n-1)d]
= (n/2)[2 × 2 + (n-1) × 2]
= (n/2) × 2 [ 2 + (n – 1)]
= n(n+1)
Por tanto, el n-ésimo término de la serie dada es n(n+1).
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA