Fórmulas de producto a suma

Como sugiere su nombre, trigonometría significa el estudio de los triángulos. La trigonometría se ocupa más precisamente de los triángulos rectángulos, donde uno de los ángulos internos es de 90 grados. Es una rama significativa de las matemáticas que nos ayuda a determinar los ángulos faltantes o desconocidos o las longitudes de los lados en un triángulo y estudia las relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente son las seis razones o funciones trigonométricas donde una razón trigonométrica se define como la razón de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Las seis razones/funciones trigonométricas son:

• sen θ = Lado opuesto/Hipotenusa
• cos θ = Lado adyacente/Hipotenusa
• tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente
• cosec θ = hipotenusa/lado opuesto
• sec θ = hipotenusa/lado adyacente
• cot θ = Lado adyacente/Lado opuesto

Fórmulas de producto a suma/diferencia

Las identidades de producto a suma se utilizan para expresar el producto entre funciones de seno y/o coseno como una suma o diferencia. Las fórmulas de suma y diferencia de funciones de seno y coseno se suman o restan para derivar estas identidades. Las identidades de producto a suma se pueden usar para simplificar la expresión trigonométrica. Las integrales o derivadas de las funciones trigonométricas se pueden resolver con facilidad utilizando estas identidades. Para todas las combinaciones posibles de productos de seno y coseno, hay cuatro productos para sumar o diferenciar fórmulas en total.

Identidades de producto a suma/diferencia

Producto de dos funciones coseno	cos A cos B = (½) [cos (A + B) + cos (A – B)]
Producto de funciones coseno y seno	cos A sin B = (½) [sin (A + B) – sin (A – B)]
Producto de funciones seno y coseno	sen A cos B = (½) [sen (A + B) + sen (A – B)]
Producto de dos funciones seno	sen A sen B = (½) [cos (A – B) – cos (A + B)]

Derivación del producto a identidades de suma/diferencia

Las fórmulas de producto a suma/diferencia se pueden derivar usando las fórmulas trigonométricas de suma/diferencia. 

Las fórmulas de suma/diferencia se dan a continuación:

• sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B ———— (1)
• sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B ———— (2)
• cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B ———— (3)
• cos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B ———— (4)

cos A cos B Fórmula

Para obtener la fórmula cos A cos B, agregue las ecuaciones (3) y (4)

⇒ cos (A + B) + cos (A – B) = [cos A cos B – sen A sen B] + [cos A cos B + sen A sen B]

⇒ cos (A + B) + cos (A – B) = cos A cos B + cos A cos B

⇒ cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B

Por eso, 

  cos A cos B = (½) [cos (A + B) + cos (A – B)]

cos A sen B Fórmula

Para derivar la fórmula cos A sen B, reste las ecuaciones (2) de (1)

⇒ sin (A + B) – sin (A – B) = [sin A cos B + cos A sin B] – [sin A cos B – cos A sin B]

⇒ sen (A + B) – sen (A – B) = sen A cos B + cos A sen B – sen A cos B + cos A sen B

⇒ sen (A + B) – sen (A – B) = 2 porque A sen B

Por eso,

cos A sin B = (½) [sin (A + B) – sin (A – B)]

seno A cos B Fórmula

Para obtener la fórmula cos A cos B, agregue las ecuaciones (1) y (2)

⇒ sin (A + B) + sin (A – B) = [sin A cos B + cos A sin B] + [sin A cos B – cos A sin B]

⇒ sen (A + B) + sen (A – B) = sen A cos B + sen A cos B

⇒ sen (A + B) + sen (A – B) = 2 sen A cos B

Por eso,

sen A cos B = (½) [sen (A + B) + sen (A – B)]

sen A sen B Fórmula

Para derivar la fórmula cos A sen B, reste las ecuaciones (4) de (3)

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = [cos A cos B + sen A sen B] – [cos A cos B – sen A sen B]

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = cos A cos B + sen A sen B – cos A cos B + sen A sen B

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = 2 sen A sen B

Por eso,

sen A sen B = (½) [cos (A – B) – cos (A + B)]

Problemas de muestra

Problema 1: Expresar 6 cos 8x sin 5x como suma/diferencia.

Solución:

De una de las fórmulas de producto a suma, tenemos

cos A sin B = (½) [sin (A + B) – sin (A – B)]

Entonces, al sustituir A = 8x y B = 5x en la fórmula anterior, obtenemos

cos 8x sen 5x = (½) [ sen (8x + 5x) – sen (8x – 5x) ]

cos 8x sen 5x = (½) [sen 13x – sen 3x]

Ahora, 6 cos 8x sin 5x = 6 × (½) [sin 13x – sin 3x]

Por tanto, 6 cos 8x sen 5x = 3 [sen 13x – sen 3x]

Problema 2: Determinar el valor de la integral de cos 4x cos 6x.

Solución:

De una de las fórmulas de producto a suma, tenemos

cos A cos B = (½) [cos (A + B) + cos (A – B)]

cos 4x cos 6x = ½ [cos (4x + 6x) + cos (4x – 6x)]

= (½) [cos 10x + cos (-2x)]

= (½) [cos 10x + cos 2x]        {Ya que, cos (-θ) = cos θ}

Ahora, integral de cos 4x cos 6x = ∫ cos 4x cos 6x dx

= ∫(½) [cos 10x + cos 2x] dx

= (½) [1/10 sen 10x + 1/2 sen 2x] + C    {Ya que, ∫cos(ax) dx = 1/a sen(ax) + c}

= 1/20 sen(10x) + 1/2 sen(2x) + C

Por lo tanto, integral de cos 4x cos 6x = 1/20 sin(10x) + 1/2 sin(2x) + C

Problema 3: Determinar el valor de sen 36° cos 54° sin evaluar los valores de sen 36° y cos 54°. 

Solución:

De una de las fórmulas de producto a suma, tenemos

sen A cos B = (½) [sen (A + B) + sen (A – B)]

Entonces, sen 36° cos 54° = (½) [sen (36° + 54°) + sen (36° – 54°)]

= (½) [pecado (90°) + seno (-18°)]

= (½) [sen 90° – sen 18°]        {Ya que, sen (-θ) = – sen θ}

= (½) [1 – 0,3090]                {Ya que, sen 90° = 1, sen 18° = 0,3090}

= 0.3455

Por tanto, sen 36° cos 54° = 0,3455.

Problema 4: Determinar el valor de la derivada de 4 cos 3x sen 2x.

Solución:

De una de las fórmulas de producto a suma, tenemos

cos A sin B = (½) [sin (A + B) – sin (A – B)]

Ahora, 4 cos 3x sin 2x = 4 × (½) [sin (3x + 2x) – sin (3x – 2x)]

= 2 [sen 5x – sen x]

Ahora, derivada de 4 cos 3x sen 2x = d(4 cos 3x sen 2x)/dx

= d/(2 [sen 5x – sen x])/dx

= 2 [ d(sen 5x)/dx – d(sen x)/dx ]

= 2 [5 cos 5x – cos x]                 {Ya que, d(sen ax)/dx = a cos ax}

Por tanto, derivada de 4 cos 3x sen 2x = 2 [5 cos 5x – cos x] .

Problema 5: Determinar el valor de sen 15° sen 45° sin evaluar los valores de sen 15° y sen 45°. 

Solución:

De una de las fórmulas de producto a suma, tenemos

sen A sen B = (½) [cos (A – B) – cos (A + B)]

Ahora, sen 15° sen 45° = (½)[cos (15° – 45°) – cos (15° + 45°)]

= (½) [cos (-30°) – cos (60°)]

= (½) [cos 30° – cos 60°]    {Ya que, cos (-θ) = cos θ}

= (½) [√3/2 – 1/2]             {Ya que, cos 30° = √3/2 y cos 60° = 1/2}

= (½) [(√3 -1)/2]

= (√3 -1)/4

Por tanto, sen 15° sen 45° = (√3 -1)/4.

Problema 6: Expresar 2 cos 9x cos 7x como suma/diferencia.

Solución:

De una de las fórmulas de producto a suma, tenemos

cos A cos B = (½) [cos (A + B) + cos (A – B)]

Ahora, 2 cos 9x cos 7x = 2 × (½) [cos (9x + 7x) + cos (9x – 7x)]

= [cos (16x) + cos (2x)]

Por tanto, 2 cos 9x cos 7x = [cos 16x + cos 2x]