Fórmula secante: concepto, fórmulas, ejemplos resueltos

Una rama vital de las matemáticas que se ocupa de las relaciones entre los ángulos y las longitudes de un triángulo rectángulo se conoce como trigonometría. Seno, coseno, tangente, cosecante y secante son las seis razones trigonométricas, y una razón trigonométrica es la razón de los lados de un triángulo rectángulo. Dado que las funciones cosecante, secante y cotangente son las funciones recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente, las funciones seno, coseno y tangente son las tres funciones trigonométricas significativas.

Las seis razones o funciones trigonométricas son,

1. sen θ = Lado opuesto/Hipotenusa
2. cos θ = Lado adyacente/Hipotenusa
3. tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente
4. cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/lado opuesto
5. sec θ = 1/cos θ = Hipotenusa/Lado adyacente 
6. cot θ = 1/tan θ = Lado adyacente/Lado opuesto

fórmula secante

La secante de un ángulo en un triángulo rectángulo es la razón de la longitud de la hipotenusa a la longitud del lado adyacente al ángulo dado. Escribimos una función secante como «seg». Sea PQR un triángulo rectángulo y “θ” uno de sus ángulos agudos. Un lado adyacente es un lado adyacente al ángulo “θ”, y una hipotenusa es un lado opuesto al ángulo recto y también el lado más largo de un triángulo rectángulo. Una función secante es una función recíproca de la función coseno.

Ahora, la fórmula de la secante para el ángulo dado «θ» es,

sec θ = hipotenusa/lado adyacente 

Algunas fórmulas secantes básicas

Algunas fórmulas trigonométricas básicas en términos de otras fórmulas trigonométricas se analizan a continuación.

Función secante en cuadrantes

• La función secante es positiva en el primer y cuarto cuadrante y negativa en el segundo y tercer cuadrante.

Grados	Cuadrante	Signo de la función secante
0° a 90°	1er cuadrante  _	+ (positivo)
90° a 180°	2do cuadrante  _	– (negativo)
180° a 270°	3er cuadrante  _	– (negativo)
270° a 360°	4 to cuadrante	+ (positivo)

La identidad del ángulo negativo de una función secante

• La secante de un ángulo negativo siempre es igual a la secante del ángulo.

segundo (-θ) = segundo θ

Función secante en términos de la función coseno

• Una función secante es una función recíproca de la función coseno.

seg θ = 1/cos θ

Función secante en términos de la función seno

La función secante en términos de la función seno se puede escribir como,

segundo θ = ±1/√(1-sen ² θ)

Lo sabemos

seg θ = 1/cos θ

De las identidades pitagóricas tenemos;

cos ² θ + sen ² θ = 1

⇒ cos θ = √1 – sen ² θ

Por lo tanto, sec θ = ± 1/√(sen ² θ – 1)

Función secante en términos de la función tangente

La función secante en términos de la función tangente se puede escribir como,

segundo θ = ±√(1 + tan ² θ)

De las identidades pitagóricas, tenemos,

segundo ² θ – bronceado ² θ = 1

⇒ seg ² θ = 1 + tan ² θ

Por lo tanto, sec θ = ±√(1 + tan ² θ)

Función secante en términos de la función cosecante

La función secante en términos de la función cosecante se puede escribir como,

Si θ es positivo en el primer cuadrante, entonces

sec θ = cosec (90 – θ) o cosec (π/2 – θ)  

(o)

segundo θ = cosegundo θ/√(coseg ² θ – 1)

Tenemos,

segundo θ = 1/√(1-sen ² θ)

Sabemos que sen θ = 1/coseg θ

Sustituyendo sen θ = 1/coseg θ en la ecuación anterior, obtenemos

segundo θ = 1/√(1 – (1/coseg ² θ)

Por lo tanto, sec θ = (cosec θ)/√(cosec ² θ – 1)

Función secante en términos de la función cotangente

La función secante en términos de la función cotangente se puede escribir como,

sec θ = ±√(cot ² θ + 1)/cotθ

De las identidades pitagóricas, tenemos,

segundo ² θ – bronceado ² θ = 1

⇒ seg ² θ = 1 + tan ² θ

Sabemos que tan θ = 1/cot θ

Sustituyendo tan θ = 1/cot θ en la ecuación anterior, obtenemos

⇒ seg ² θ = 1 + (1/cot ² θ)

⇒ seg ² θ = (cot ² θ + 1)/cot ² θ

Por lo tanto, sec θ = ±√(cot ² θ + 1)/cotθ

Tabla de razones trigonométricas

Ángulo (En grados)	Ángulo (En radianes)	cos θ	segundo θ = 1/cos θ
0°	0	1	1/1 = 1
30°	π/6	√3/2	1(√3/2) = 2/√3
45°	π/4	1/√2	1/(1/√2) = √2
60°	π/3	1/2	1/(1/2) = 2
90°	π/2	0	1/0 = indefinido
180°	π	-1	1/-1 = -1

Problemas de muestra

Problema 1: Encuentra el valor de sec θ, si sen θ = 1/3.

Solución:

Dado,

sen θ = 1/3

Lo sabemos,

segundo θ = 1/√(1-sen ² θ)

⇒ seg θ = 1/(1 – (1/3)2)

= 1/√(1 – (1/9))

= 1/√(8/9) = 3/2√2

Por lo tanto, sec θ = 3/2√2

Problema 2: Encuentra el valor de sec x si tan x = 5/12 y x es el ángulo del primer cuadrante.

Solución:

Dado,

tan x = 5/12

De las identidades pitagóricas, tenemos,

seg ² x – tan ² x = 1

⇒ seg ² x = 1 + tan ² x

⇒ seg ² x = 1 + (5/12) ²

⇒ seg ² x = 1 +(25/144) =169/144

⇒ seg x = √(169/144) = ±13/12

Dado que x es el ángulo del primer cuadrante, sec x es positivo.

Por lo tanto, sec x = 13/12

Problema 3: Si cosec α = 25/24, encuentra el valor de sec α.

Solución:

Dado,

cosec α = 25/24

Lo sabemos,

cosec α = 25/24 = hipotenusa/lado opuesto

lado adyacente = √[(hipotenusa) ² – (lado opuesto) ² ]

= √[(25) ² – (24) ² ] = √(625 – 576)

= √49 = 7

Ahora, sec α = hipotenusa/lado adyacente = 25/7

Por lo tanto, sec α = 25/7

Problema 4: Encuentra el valor de sec θ, si cos θ = 2/3.

Solución:

Dado,

cos θ = 2/3

Lo sabemos,

Una función secante es la función recíproca de una función coseno.

Entonces, sec θ = 1/cos θ

= 1/(2/3) = 3/2

Por lo tanto, sec θ = 3/2

Problema 5: Un triángulo rectángulo tiene las siguientes medidas: hipotenusa = 10 unidades, base = 8 unidades y perpendicular = 6 unidades. Ahora, encuentra sec θ usando la fórmula de la secante.

Solución:

Dado,

hipotenusa = 10 unidades

Base = 8 unidades

Perpendiculares = 6 unidades

Lo sabemos,

sec θ = hipotenusa/base

= 10/8 = 5/4

Por lo tanto, sec θ = 5/4.

Problema 6: Determinar el lado de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 15 unidades y cuyo ángulo de base con el lado es de 45 grados.

Solución:

Dado,

θ = 45 grados

hipotenusa = 15 unidades

Usando la fórmula de la secante,

sec⁡ θ = hipotenusa/base

seg⁡ 45 =15/B

√2 = 15/B

B = 15/√2 = 15√2/2

B = 7.5√2

Por lo tanto, la base del triángulo es 7.5√2 unidades.