Una ecuación que involucra un coeficiente diferencial se llama ecuación diferencial. Una ecuación diferencial de la forma que incluye uno o más términos, así como las derivadas de una variable (la variable dependiente) con respecto a otra variable (es decir, la variable independiente)
dy/dx = f(x)
donde, “x” es una variable independiente, mientras que “y” es una variable dependiente en este caso.
Ejemplo: dy/dx = 2x
Ecuación diferencial ordinaria
Se dice que una ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria si las derivadas en la ecuación son derivadas ordinarias.
Ejemplo:
- dy/dx + 12xy = x 2
- d 2 y/dx 2 + 12dy/dx + 9y = e x
Ecuación diferencial parcial
Se dice que una ecuación diferencial es una ecuación diferencial parcial si las derivadas de la ecuación hacen referencia a dos o más variables independientes (es decir, se utilizan derivadas parciales en la ecuación dada).
Ejemplo: ∂ 2 u /∂ x 2 =12∂ 2 u /∂ t 2 (donde t y x son variables independientes)
Orden de la ecuación diferencial
El orden de la ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden de la ecuación.
Ecuación diferencial de primer orden
Como se ve en el ejemplo siguiente, es una ecuación diferencial de primer orden con un grado igual a 1. Todas las ecuaciones lineales en forma de derivadas son de primer orden. Solo tiene la primera derivada, dy/dx, donde x e y son las dos variables, y se denota como
dy/dx = f(x,y) = y ‘
Ejemplo: dy/dx = 2x+3
Ecuación diferencial de segundo orden
La ecuación que contiene la derivada de segundo orden se conoce como ecuación diferencial de segundo orden. Está escrito de la siguiente manera:
d/dx(dy/dx) = re 2 y/dx 2 = f ” (x) = y ”
Grado de la ecuación diferencial
La potencia de la derivada más alta en la ecuación diferencial se llama grado de la ecuación diferencial. El grado de la ecuación diferencial es igual a la potencia de la derivada de mayor orden, donde el problema original se representa como una ecuación polinomial con derivadas como y’, y”, y”’, etc.
Ejemplo:
(d 2 y/dx 2 ) 4 + (d 3 y/dx 3 ) 2 + cos x = 0
Aquí orden = 3 y grado = 2
(y ”’ ) 3 + 12y ” + 8y ‘ + 16 = 0
Aquí el grado es 3
Función homogénea
Se dice que una función f(x, y) es una función homogénea si f( kx, ky ) = k n f( x, y) donde ‘n’ es el grado
Ejemplo:
f(x,y) = (x3 + y3 ) /(x+y )
f(kx + ky)= [(kx) 3 + (ky) 3 ]/ (kx + ky)
= k3 (x3 + y3 ) /k(x + y )
= k 2 f(x,y)
Es una función homogénea de grado 2.
Ecuación diferencial de primer orden y primer grado
Una ecuación de la forma dy/dx = f(x, y) se dice que es una ecuación diferencial de primer orden y primer grado.
Ecuación diferencial homogénea
Se dice que una ecuación diferencial dy/dx = f(x, y) es una ecuación diferencial homogénea si f(x, y) es una función homogénea y el grado debe ser cero
Ejemplo:
sea f(x,y) = (x 2 + y 2 )/2xy
f(kx,ky) = [(kx) 2 +(ky) 2 ]/2(kx)(ky)
= k2 ( x2 + y2 )/ k2 ( 2xy )
= k 0 f(x,y)
por lo tanto f(x, y) es una función homogénea y el grado es 0
Ecuaciones diferenciales exactas
Una ecuación diferencial Mdx + Ndy = 0 se dice que es una ecuación diferencial exacta si ∂M/∂y = ∂N/∂x
Regla de trabajo para resolver ecuaciones diferenciales exactas
Paso 1 : la ecuación diferencial dada se puede escribir como Mdx + Ndy = 0 considerando como ecuación 1
Paso 2 : Comprobar ∂M/∂y = ∂N/∂x
Paso 3 : La solución general de la ecuación 1 es
∫Mdx +∫Ndy =C
(y= constante) y (no contienen x)
Resolver ecuaciones exactas por factor de integración
Si Mdx + Ndy = 0 es una ecuación diferencial homogénea y Mdx + Ndy no es igual a 0, 1/(Mx+Ny) es un factor integrante de Mdx + Ndy = 0.
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial exacta x 2 ydx −( x 3 + y 3 ) dy =0
Solución:
Comparando con Mdx + Ndy = 0
M = x 2 y, y N = -(x 3 + y 3 )
∂M/∂y = x 2 y ∂N/∂x = -3x 2
Así que aquí ∂M/∂y no es igual a ∂N/∂x
Aquí la ecuación dada no es una ecuación diferencial exacta
Teniendo en cuenta el factor de integración
Factor de Integración =1/ Mx + Ny
=1/( x 2 y ) x +(− x 3 − y 3 ) y
= 1/(x 3 y-x 3 y-y 4 )=-1/y 4
=−1/ y 4 es un factor integrante
Multiplicar la ecuación con el factor de integración
=(− x 2 y / y 4 ) dx +( x 3 + y 3 / y 4 ) dy =0
=(− x 2 / y 3 ) dx +( x 3 / y 4 +1/ y ) dy =0
Comparando con M 1 dx + N 1 dy= 0
M 1 =-x 2 /y 2 y N 1 = x 3 / y 4 +1/ y
Por lo tanto ∂M 1 /∂y = ∂N 1 /∂x
Encontrar ∫M 1 dx +∫N 1 dy =C
∫(− x 2 / y 3 ) dx +( x 3 / y 4 +1/ y ) dy = C
− x 3 /3 y 3 + lógica = C
Es la solución para la ecuación dada.
Problemas de muestra
Problema 1: Resuelve (hx + by + f)dy + (ax + hy + g)dx = 0
Solución:
La ecuación dada es (hx+by+f)dy+(ax+hy+g)dx=0….(1)
Paso 1 : Comparando con Mdx + Ndy = 0
M= ax+hy+g y N = hx+by+f
Paso 2 : Comprobar ∂M/∂y = ∂N/∂x
∂M/∂y = h
∂N/∂x = h
Por lo tanto ∂M/∂y = ∂N/∂x
Paso 3 : La solución general de la ecuación 1 es
∫Mdx +∫Ndy =C
(y= constante) y (no contienen x)
=∫( hacha + hy + g ) dy +∫( hx + by + f ) dx = C
= ax 2 /2+ hy ∫ dx + g ∫ dx +0+ by 2 /2+ f ∫ dy = C
= ax 2 /2+ hyx + gx + by 2 /2+ fy = C (aquí ∫dx= x, ∫dy = y)
Por lo tanto, es la solución para la ecuación diferencial dada.
Problema 2: Resolver ( y 2 −2 xy ) dx −( x 2 −2 xy ) dy =0
Solución:
La ecuación dada es ( y 2 −2 xy ) dx −( x 2 −2 xy ) dy =0….(1)
Paso 1 : Comparando con Mdx + Ndy = 0
M= y 2 -2xy y N = -x 2 +2xy
Paso 2 : Comprobar ∂M/∂y = ∂N/∂x
∂M/∂y = 2y-2x
∂N/∂x = -2x+2y
Por lo tanto ∂M/∂y = ∂N/∂x
Paso 3 : La solución general de la ecuación 1 es
∫Mdx +∫Ndy =C
(y= constante) y (no contienen x)
=∫( y 2 −2 xy ) dx +∫(− x 2 +2 xy ) dy = C
= y 2 ∫ dx −2 y ∫ xdx +0= C
= xy 2 − x 2 y = C
Por lo tanto, es una solución para una ecuación diferencial dada.
Problema 3: Resolver ( y (1+1/ x )+ acogedor ) dx +( x + logx − seno ) dy =0
Solución:
La ecuación dada es ( y (1+1/ x )+ acogedor ) dx +( x + logx − seno ) dy =0
Paso 1 : Comparando con Mdx + Ndy = 0
M= y+y/x+cosy y N = x+logx-xseny
Paso 2 : Comprobar ∂M/∂y = ∂N/∂x
∂M/∂y = 1+1/x-seno
∂N/∂x = 1+1/x-seno
Por lo tanto ∂M/∂y = ∂N/∂x
Paso 3 : La solución general de la ecuación 1 es
∫Mdx +∫Ndy =C
(y= constante) y (no contienen x)
∫( y + y / x )+ acogedor ) dx +∫( x + logx − seno ) dy = C
= xy + ylogx + xcosy +0= C
= y ( x + logx )+ xcosy = C
Por lo tanto, es una solución para una ecuación diferencial dada.
Problema 4: Resolver ( x 2 −4 xy −2 y 2 ) dx +( y 2 −4 xy −2 x 2 ) dy =0
Solución:
La ecuación dada es ( x 2 −4 xy −2 y 2 ) dx +( y 2 −4 xy −2 x 2 ) dy =0
Paso 1 : Comparando con Mdx + Ndy = 0
M= x 2 -4xy-2y 2 y N = y 2 -4xy-2x 2
Paso 2 : Comprobar ∂M/∂y = ∂N/∂x
∂M/∂y = -4x-4y
∂N/∂x = -4x-4y
Por lo tanto ∂M/∂y = ∂N/∂x
Paso 3 : La solución general de la ecuación 1 es
Mdx +∫Ndy =C
(y= constante) y (no contienen x)
=∫( x 2 −4 xy −2 y 2 ) dx +∫( y 2 −4 xy −2 x 2 ) dy = C
= x 3 /3−4 yx 2 /2−2 y 2 x + y 3 /3= C
= x 3 /3−2 x 2 y −2 xy 2 + y 3 /3= C
Por lo tanto, es una solución para la ecuación diferencial dada.
Problema 5: Resolver (2xy+y-tany)dx+(x 2 -xtan 2 y+sec 2 y)dy=0
Solución:
La ecuación dada es (2xy+y-tany)dx+(x 2 -xtan 2 y+sec 2 y)dy=0
Paso 1 : Comparando con Mdx + Ndy = 0
M= 2xy+y-tany y N = x 2 -xtan 2 y
Paso 2 : Comprobar ∂M/∂y = ∂N/∂x
∂M/∂y = 2x+1-seg 2 y = 2x-tan 2 y
∂N/∂x = 2x-tan 2 y
Por lo tanto ∂M/∂y = ∂N/∂x
Paso 3 : La solución general de la ecuación 1 es
∫Mdx +∫Ndy =C
(y= constante) y (no contienen x)
=∫(2 xy + y − tany ) dx +∫( x 2 − xtan 2 y + seg 2 y ) dy = C
=2 y ∫ xdx + y ∫ dx − tany ∫ dx +0+0+∫ seg 2 ydy = C
=2 yx 2 /2+ xy − xtany + tany = C
= xy (1+ x )+ tany (1− x )= C
Por lo tanto, es una solución para una ecuación diferencial dada.