Fórmula asíntota

En geometría, una asíntota es una línea recta que se aproxima a una curva en el gráfico y tiende a encontrarse con la curva en el infinito. La curva y su asíntota tienen una relación única en la que viajan paralelas entre sí pero nunca se cruzan en ningún punto que no sea el infinito. Además, aunque corren muy juntos, todavía están separados el uno del otro. Hay tres tipos de asíntotas, a saber, asíntota horizontal, asíntota vertical y asíntota oblicua. Las asíntotas horizontales están ubicadas donde la curva se acerca a un valor constante b cuando x se acerca al infinito (o-infinito). Una asíntota vertical se ubica cuando la curva se desplaza en la dirección del infinito cuando x se acerca a un valor constante c desde la derecha o la izquierda.

Fórmula asíntota

Asíntota horizontal

Las asíntotas horizontales están ubicadas donde la curva se acerca a un valor constante b cuando x se acerca al infinito (o al infinito negativo).

Si f (x) = (ax ^m +…)/(bx ⁿ +..) es una curva, sus asíntotas horizontales son las siguientes:

1. Si m < n, entonces la asíntota horizontal es y = 0, ya que x tiende a infinito, es decir, lím _x⇢∞ f(x) = 0.
2. Si m = n, entonces la asíntota horizontal es y = a/b, ya que x tiende a infinito, es decir, lím _x⇢∞ f(x) = a/b.
3. Si m > n, entonces f(x) no tiene asíntota horizontal. lím _x⇢∞ f(x) = ±∞.

Asíntota vertical

Una asíntota vertical se ubica cuando la curva se desplaza en la dirección del infinito cuando x se acerca a un valor constante c desde la derecha o la izquierda.

Entonces, para encontrar la asíntota vertical de una función, su denominador debe ser igual a cero, ya que una función es indefinida cuando su denominador es cero.

asíntota oblicua

Una asíntota oblicua ocurre cuando la curva viaja en la dirección de la línea y = mx + b mientras que x también va hacia el infinito en cualquier dirección.

Considere la función f(x) = p(x)/q(x), siendo p(x) y q(x) polinomios. La función dada tendrá una asíntota oblicua solo si el grado del numerador es mayor que el denominador. Obtenemos f(x) = a(x) + r(x)/q(x) realizando una división polinomial en la función dada, donde a(x) es el cociente y r(x) es el recordatorio. Ahora, la asíntota oblicua de la función dada es a(x).
 

Asíntotas de una hipérbola

Una hipérbola tiene un par de asíntotas que tienen una ecuación x ² /a ² – y ² /b ² = 0.

Ahora, las ecuaciones de las asíntotas son

Ecuación de asíntotas: y = (b/a) x y y = -(b/a) x 

Ecuación del par de asíntotas: x ² /a ² – y ² /b ² = 0.

Problemas de muestra

Problema 1: Si la ecuación de una hipérbola es x ² /196 – y ² /225 = 1, encuentra sus asíntotas.

Solución: 

Dado,

La ecuación de la hipérbola es x ² /196 – y ² /225 = 1

Si la ecuación de una hipérbola es x ² /a ² – y ² /b ² = 1, entonces la ecuación de su par de asíntotas es x ² /a ² – y ² /b ² = 0

Entonces, ahora la ecuación del par de asíntotas es x ² /196 – y ² /225 = 0

⇒ x ² /(14) ² – y ² /(15) ² = 0

⇒ (x/14 – y/15) (x/14 + y/15) = 0

⇒ (x/14 – y/15) = 0 y (x/14 + y/15) = 0

⇒ 15x – 14y = 0 y 15x + 14y = 0

Por tanto, las asíntotas de la hipérbola dada son 15x – 14y = 0 y 15x + 14y = 0.

Problema 2: Encuentra las asíntotas verticales para f(x) = 3x ² + 1/25x ² – 36.

Solución:

Dado,

La ecuación de la curva f(x) = 3x ² + 1/25x ² – 36

Sabemos que una asíntota vertical ocurre cuando la curva tiende a infinito.

Entonces, el denominador debe ser igualado a cero.

⇒ 25x ² – 36 = 0

⇒ (5x) ² – 6 ² = 0

⇒ (5x + 6) (5x – 6) = 0

⇒ x = -6/5 y x = 6/5

Por lo tanto, las asíntotas verticales son x = -6/5 yx = 6/5.

Problema 3: Si la ecuación de una hipérbola es x ² /64 – y ² /4 = 0, encuentra sus asíntotas.

Solución:

Dado, 

La ecuación de la hipérbola es x ² /64 – y ² /4 = 1

Si la ecuación de una hipérbola es x ² /a ² – y ² /b ² = 1, entonces la ecuación de su par de asíntotas es x ² /a ² – y ² /b ² = 0

Entonces, ahora la ecuación del par de asíntotas es x ² /64 – y ² /4 = 0

⇒ x ² /(8) ² – y ² /(2) ² = 0

⇒ (x/8 – y/2) (x/8 + y/2) = 0

⇒ (x/8 – y/2) = 0 y (x/8 + y/2) = 0

⇒ 2x – 8y = 0 y 2x + 8y = 0

Por tanto, las asíntotas de la hipérbola dada son 2x – 8y = 0 y 2x + 8y = 0.

Problema 4: Encuentra la asíntota vertical de la curva f(x) = 5x ² – 4x + 1/x ² – 5x + 6.

Solución:

Dado,

La ecuación de la curva f(x) = 5x ² – 4x + 1/x ² – 5x + 6

Sabemos que una asíntota vertical ocurre cuando la curva tiende a infinito.

Entonces, el denominador debe ser igualado a cero.

⇒ x2 – 5x ⁺ 6 = 0

⇒ x2 – ^2x – 3x + 6 = 0

⇒ (x – 2) (x – 3) = 0

⇒ x = 2 o x = 3

Por lo tanto, las asíntotas verticales son x = 2 y x = 3

Problema 5: Encuentra la asíntota oblicua de la curva f(x) = x ² + 8x – 15/x – 4

Solución:

Dado,

La ecuación de la curva f(x) = x ² + 8x – 15/x – 4

El grado del numerador es mayor que el denominador, por lo que existen asíntotas oblicuas.

 

Por lo tanto, f(x) = x ² + 8x – 15/x – 4 = (x + 12) + 33/(x – 4)

Por lo tanto, la asíntota oblicua es y = x + 12.

Problema 6: ¿Cuál es la asíntota horizontal de la curva f(x) = x ² – 6x + 7/4x ² – 3?

Solución:

Dado,

La ecuación de la curva f(x) = x ² – 6x + 7/4x ² – 3

Como el grado del numerador y del denominador es igual, se obtiene una asíntota horizontal.

Para encontrar la asíntota horizontal, divide el numerador y el denominador con x 

f(x) = (x2 ^– 6x + 7/(x2 )/(4×2 ^{– 3 ) /} (x2 )

f(x) = (1 – 6/x + 7/x ² )/(4 – 3/x ² )

Ahora, lím _x⇢∞ f(x) = lím _x⇢∞ (1 – 6/x + 7/x2)/(4 – 3/x2)

= (1 – 0 + 0)/(4 – 0) = 1/4

Por lo tanto, la asíntota horizontal es y = 1/4