En matemáticas, un conjunto es simplemente una colección de objetos individuales bien definidos que forman un grupo. Un conjunto puede contener cualquier grupo de elementos, como un conjunto de números, un día de la semana o un vehículo. Cada elemento del conjunto se llama elemento del conjunto. Las llaves se utilizan para crear conjuntos. Un ejemplo muy simple de un conjunto es: Conjunto A = {1,2,3,4,5}. Hay varias notaciones para representar los elementos de un conjunto. Los conjuntos normalmente se expresan mediante un formulario de lista o un formulario de creación de conjuntos.
En matemáticas, un conjunto se define como una colección de objetos inmutables con elementos fijos. Los elementos no se pueden repetir en un conjunto, pero se pueden escribir en cualquier orden. Los conjuntos se indican con letras mayúsculas. En la teoría de conjuntos, los elementos que componen un conjunto pueden ser cualquier cosa: una persona, una letra del alfabeto, un número, una forma o una variable.
Sabemos que el conjunto de los números naturales pares menores que 20 está definido, mientras que el conjunto de los alumnos inteligentes de la clase está indefinido. Entonces, el conjunto de números naturales pares menores que 20 se puede escribir como el conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
elementos de conjuntos
Tomemos un ejemplo. A = { 2, 4, 6, 8 } . A es un conjunto y 2, 4, 6 y 8 son elementos del conjunto o miembros del conjunto. Los elementos escritos en un conjunto se pueden usar en cualquier orden, pero no se pueden repetir. Todos los elementos de un conjunto están representados por letras minúsculas en el alfabeto.
También podemos escribir esto como 2 ∈ A, 4 ∈ A, etc. La cardinalidad del conjunto es 4. Aquí hay algunos conjuntos de uso común.
- N : Conjunto de números totalmente naturales
- Z : Conjunto de todos los enteros
- P : Conjunto de todos los números racionales
- R : Conjunto de todos los números reales
- Z + : Conjunto de todos los enteros positivos.
Número cardinal o cardinalidad de un conjunto
El número cardinal, la cardinalidad o el orden de un conjunto indica el número total de elementos del conjunto . Para números naturales pares menores que 10, n(A) = 4. Un conjunto se define como una colección única de elementos. Una de las condiciones importantes para definir un conjunto es que todos los elementos del conjunto deben tener propiedades comunes.
p.ej. A = { 2, 4, 6, 8 } , la cardinalidad del conjunto A es 4.
Representación de un conjunto
Hay varias notaciones de conjuntos que se utilizan para representar conjuntos, la forma en que se enumeran los elementos es diferente. Se utilizan tres notaciones de conjuntos para representar conjuntos.
- Forma semántica: La notación semántica describe un enunciado para mostrar cuáles son los elementos de un conjunto. Por ejemplo, el Conjunto A es la lista de los primeros cinco números pares.
- Forma de lista: la forma más común utilizada para representar un conjunto es la forma de lista, en la que los elementos del conjunto están encerrados entre llaves separadas por comas. Ejemplo: Para un Conjunto finito: Conjunto A = { 0, 1, 2, 3, 4 } (Los primeros cinco números enteros)
Para un Conjunto infinito: Conjunto B = { 2, 4, 6, 8 …. } (múltiplos de 2) - Forma de creación de conjuntos: un método para definir un conjunto describiendo sus propiedades en lugar de enumerar sus elementos se conoce como notación de creación de conjuntos. La construcción de conjuntos en la notación Set Builder también se conoce como comprensión de conjuntos, abstracción de conjuntos e intenciones de conjuntos. La notación de creación de conjuntos contiene una o más variables y reglas para determinar qué elementos pertenecen y cuáles no pertenecen a un conjunto. Esta regla se expresa a menudo en forma de predicado. Las reglas y variables establecidas están separadas por una barra vertical «|». o dos puntos (:). Este método es ampliamente utilizado para describir conjuntos infinitos. Por ejemplo, A = { k | k es un número impar, k ≤ 20}
Representación visual de conjuntos mediante el diagrama de Venn: un diagrama de Venn es una representación gráfica de varios conjuntos. Esto ayuda a los estudiantes a visualizar relaciones lógicas entre diferentes conjuntos. Los diagramas de Venn facilitan la comprensión de las diferencias y similitudes entre conjuntos. Un diagrama de Venn representa los elementos de un conjunto, generalmente representado por círculos y los círculos superpuestos representan los elementos comunes del conjunto.
La figura anterior es la representación visual de los conjuntos A y B dada por A = {a, b, c} y B = {c, d, e}.
tipos de conjuntos
Conjuntos únicos
Un conjunto con un solo elemento se llama conjunto singleton.
Ejemplo: A = { metro | m es un número natural entre 3 y 5} que es A = {4}.
Conjuntos vacíos
Un conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío o nulo. Un conjunto vacío se representa con el símbolo “∅”. Se lee como «phi».
Ejemplo: B = {x: 1 < x < 2, x es un número entero}.
Conjuntos finitos y conjuntos infinitos
Se dice que un conjunto que consta de un número finito de elementos es un conjunto finito, mientras que un conjunto cuyos elementos no pueden evaluarse se dice que es un conjunto infinito.
Ejemplo: el conjunto A = { 1, 5, 9 } es un conjunto finito, ya que tiene un número finito de elementos.
El conjunto C (conjunto de números naturales) = { 1, 2, 3, 4, 5, ……….} es un conjunto infinito.
Conjuntos equivalentes
Si dos conjuntos diferentes tienen el mismo número de elementos, se dice que son conjuntos equivalentes.
Ejemplo: Si A = { 3, 5 , 7 , 9 } y B = { a, b, c, d }
Ambos conjuntos A y B tienen 4 elementos. Entonces el conjunto A y el conjunto B son conjuntos equivalentes.
Conjuntos iguales
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales si están formados por los mismos elementos y no importa el orden de los elementos.
Ejemplo: sea X = { 2, 4, 6, 8 } e Y = { 6, 2, 4, 8}, entonces X = Y .
Conjuntos desiguales
Dos conjuntos son desiguales si tienen al menos otro elemento.
Ejemplo: sean X = { 2, 5 , 6, 8 } e Y = { 6, 2, 4, 8}, entonces X e Y son conjuntos desiguales.
conjunto disjunto
Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si no contienen un solo elemento común.
Ejemplo: sea X= { 5, 6, 7, 8 } e Y = {3, 9, 12, 15 }. Aquí, el conjunto X y el conjunto Y son conjuntos disjuntos.
Subconjunto y Superconjunto
Para dos conjuntos A y B, si todos los elementos del conjunto A están en el conjunto B, entonces el conjunto A es un subconjunto del conjunto B (A ⊆ B) y B es un superconjunto del conjunto A (B ⊇ A).
Ejemplo: A= { 2, 4, 6 }
Entonces, { 2, 4 } ⊆ A.
Otros subconjuntos del conjunto A son: { 2 }, { 4 }, { 6 } , { 2,6 }, { 4, 6 } ,{ 2,4,6 },{ }.
Subconjunto propio
Para dos conjuntos A y B, si A es un subconjunto de B y A no es igual a B, entonces A es un subconjunto propio de B.
Ejemplo: A= { 2, 4, 6 } y B = { 2, 7, 5, 4, 6 }, aquí A es un subconjunto del conjunto B y A no es igual a B, entonces A es un subconjunto propio de B .
Conjunto universal
Un conjunto universal es una colección de todos los elementos relacionados con un tema en particular. Los conjuntos universales se indican con la letra «U».
Ejemplo: Si X = { 2, 4 } y U = { 2, 3, 4, 5 } , entonces U = {1,2,3,4,5} es el conjunto universal.
Set de poder
Un conjunto que contiene todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia de ese conjunto.
Ejemplo: A= { 2, 4, 6 } luego P(A) = { { 2 }, { 4 }, { 6 }, { 2,4 }, { 2,6 }, { 4, 6 }, { 2 ,4,6 }, { } } .
Operación en conjuntos
Unión de Conjuntos
La unión de conjuntos denotada por AUB enumera los elementos de los conjuntos A o B al menos una vez.
Ejemplo: si A= { 2, 4, 6 } y B = { 2, 7, 5, 4, 6 } entonces , AUB = { 2, 4, 5, 6, 7 }.
Intersección de Conjuntos
La intersección de los conjuntos denotada por A ∩ B contiene una lista de elementos comunes a los conjuntos A y B.
Ejemplo: si A= { 2, 4, 6 } y B = { 2, 7, 5, 4, 6 } , entonces A ∩ B = { 2, 4, 6 } .
diferencia de conjuntos
La diferencia de conjunto, denotada A – B, enumera los elementos del conjunto A que no están en el conjunto B.
Ejemplo: si A = { 2, 7, 5, 4, 6 } y B = { 2, 4, 6 } , entonces A – B = { 5, 7 } .
Complemento de un Conjunto
El complemento del conjunto denotado por A’ es el conjunto de todos los elementos del conjunto universal que no existen en el conjunto A. Es decir, A’ se denota como U – A, que es la diferencia entre los elementos del conjunto universal y conjunto a
Producto cartesiano de conjuntos
El producto cartesiano de dos conjuntos, denotado A × B, es el producto de dos conjuntos no vacíos que da como resultado un par ordenado de elementos.
Ejemplo: si A= { 1, 3 } y B = { 2, 4 } entonces , A × B = { (1,2) , (1,4) , (3,2) , (3,4) } .
Establecer fórmulas
Una fórmula de conjuntos es una fórmula relacionada con la teoría de conjuntos en matemáticas. Un conjunto es una colección bien definida de objetos formados por elementos individuales. El conocimiento de conjuntos lo ayuda a aplicar fórmulas de conjuntos en áreas relacionadas con estadísticas, probabilidad, geometría y secuencias.
Establecer fórmulas en número de elementos de conjuntos
Si n(A) y n(B) representan el número de elementos en dos conjuntos finitos A y B, respectivamente, entonces
- n (A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(AUB)
- n(A) = n(AUB) + n(A ∩ B) – n(B)
- n(B) = n(AUB) + n(A ∩ B) – n(A)
Si los conjuntos A y B son conjuntos disjuntos entonces
- n(AUB) = n(A) + n(B)
- UN ∩ B = ∅
- n(A – B) = n(A)
Conjuntos de fórmulas sobre propiedades de conjuntos
Las fórmulas establecidas tienen casi las mismas propiedades que los números reales o naturales. Las agregaciones también tienen propiedades conmutativas, asociativas y distributivas. La fórmula del conjunto según las propiedades del conjunto es la siguiente.
- conmutatividad
UN⋂ segundo = segundo⋂ UN
UN∪ segundo = segundo∪ UN
- Asociatividad
A⋂ (B⋂ C) = (A⋂ B)⋂ C
A∪ (B∪ C) = (A∪ B)∪ C
- distributividad
UN ⋂ (B∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A⋂ C)
- Ley idempotente
UNA ⋂ UNA = UNA
UNA ∪ UNA = UNA
- Ley de Ø y U
UN⋂ Ø = Ø
U ⋂ UN = UN
UN ∪ Ø = UN
U ∪ UN = U
Conjuntos Fórmulas de Conjuntos Complementarios
Las fórmulas de conjunto del complemento de conjunto incluyen la ley básica del complemento, la ley de De Morgan, el doble complemento y la ley de los conjuntos vacíos y universales.
- Ley del complemento A∪A’ = U, A⋂A’ = Ø y A’ = U – A
- Leyes de De Morgan (A ∪B)’ = A’ ⋂B’ y (A⋂B)’ = A’ ∪ B’
- Ley de la Doble complementación (A’)’ = A
- Leyes del Conjunto Vacío y Conjunto Universal Ø’ = ∪ y ∪’ = Ø
Conjuntos Fórmulas de diferencia de conjuntos
- A – A = Ø
- segundo – un = segundo⋂ un’
- B – A = B – (A⋂B)
- (A – B) = A si A⋂B = Ø
- (A – B) ⋂ C = (A⋂ C) – (B⋂ C)
- A ΔB = (AB) U (B-A)
- n(AUB) = n(A – B) + n(B – A) + n(A⋂B)
- n(A – B) = n(A∪B) – n(B)
- n(A – B) = n(A) – n(A⋂B)
- n(A’) = n(∪) – n(A)
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: ¿Qué es un conjunto en matemáticas? Dar ejemplos.
Responder:
Un conjunto es una colección de elementos individuales encerrados entre llaves y separados por comas. Ejemplo: Recolección de vegetales, recolección de cuadernos. Alternativamente, el conjunto se puede expresar como conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } donde 1, 2, 3 y 4 son elementos del conjunto A.
Pregunta 2: ¿Por qué usamos conjuntos en matemáticas?
Respuesta :
El propósito de usar conjuntos es representar un conjunto de objetos relacionados en un grupo. En matemáticas, generalmente nos referimos a grupos de números, como grupos de números naturales, conjuntos de números racionales, etc.
Pregunta 3: ¿Qué es la unión de conjuntos?
Responder:
La unión de dos conjuntos A y B contiene elementos de ambos conjuntos A y B. Se denota con el símbolo “U”. Por ejemplo, si establece A = { 2,3 } y B = { 5,6 } entonces AUB = { 2,3,5,6 }.
Pregunta 4: ¿Cómo podemos representar el conjunto dado en la forma constructora de conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9}
Responder:
Podemos representar el conjunto dado en forma de constructor de conjuntos como A = { x | x es un número natural impar menor que 10 }.
Pregunta 5: Dado A = { 10, 12, 14, 16, 18 } y B = { 14, 16 }. Encuentra AUB y A ⋂ B y A – B.
Responder:
Como , A = { 10, 12, 14, 16, 18 } y B = { 14, 16 }
AUB = { 10, 12, 14, 16, 18 }
UN ⋂ segundo = { 14, 16 }
A-B = {10, 12, 18}
Pregunta 6: ¿Cuál es la fórmula para la intersección de conjuntos?
Responder:
La expresión de conjunto para la intersección de los conjuntos A y B se denota por ⋂ y n(A⋂B) denota los elementos comunes a los conjuntos A y B. Entonces, la fórmula para la intersección de conjuntos está dada por n(A⋂B) = n (A) + n(B)- n(A∪B) .
Pregunta 7: ¿Cuál es la aplicación de las fórmulas establecidas?
Responder:
Las fórmulas establecidas tienen una amplia aplicación en muchos conceptos abstractos.
Por ejemplo, si R es el conjunto de los números reales y Q es el conjunto de los números racionales, entonces R – Q es el conjunto de los números irracionales.
La teoría de la probabilidad adopta reglas establecidas. Por ejemplo, un espacio muestral es un conjunto universal. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A⋂B).
Pregunta 8: Hay 240 estudiantes en la clase, 92 jugando al bádminton, 60 al tenis de mesa, 80 al rugby, 27 al bádminton y al tenis de mesa, 20 al rugby y al tenis de mesa, 16 al bádminton y al rugby y 60 a los 3 juegos. Encontrar
- Número de alumnos que practican bádminton, tenis de mesa y rugby.
- Número de alumnos que practican bádminton y no rugby.
- Número de alumnos que practican bádminton y rugby y no tenis de mesa.
Responder:
Considere que n(U) es el número total de estudiantes en la clase y n(B), n(T) y n(R) es el número de estudiantes que juegan bádminton, tenis de mesa y rugby, respectivamente.
Aquí, n(B∩T) es el número de estudiantes que juegan bádminton y tenis, n(R∩T) es el número de estudiantes que juegan rugby y tenis y n(B∩R) es el número de estudiantes que jugar bádminton y rugby.
Tenemos que: n(U) = 240 , n(B)=92 , n(T)=60 , n(R)=80 , n(B∩T)=27 , n(R∩T)=20 , n(B∩R)=16 y n(B’∩T’∩R’) (número de alumnos que no juegan ninguno de los tres juegos) = 60
Dado n(B’∩T’∩R’)=60 ⇒n(B∪T∪R)’=60
Entonces, n(B∪T∪R) = n(U) -n(B∪T∪R)’ = 240-60=180
Ahora, n(B∪T∪R) = n(B) + n(T) + n(R) – n(B∩T) – n(R∩T) – n(B∩R) + n(B ∩T∩R)
180= 92+60+80-27-20-16+n(B∩T∩R)
n(B∩T∩R) =180+63-232=243-232=11
- Número de alumnos que practican bádminton, tenis de mesa y rugby = 11.
- Número de estudiantes que juegan bádminton pero no rugby, n(BR) = n(B)-n(B∩R)=92-16=76
- Número de alumnos que juegan bádminton y rugby pero no tenis de mesa ,n(B∩R∩T’)= n(B∩R)-n(B∩R∩T) =16-11=5.
Pregunta 9: En una encuesta de 800 estudiantes en una escuela, se encontró que 250 estudiantes bebían mojito y 500 bebían jugo, 150 bebían tanto mojito como jugo. Encuentra cuántos estudiantes no bebieron ni mojito ni jugo.
Responder:
Considere que n(U) es el número total de estudiantes en la escuela, n (M) es el número de estudiantes que beben mojito, n (J) es el número de estudiantes que beben jugo, n(M∩J) son los número de estudiantes que beben mojito y jugo
Dado, n(U) = 800, n(M)=250,n(J)=500,n(M∩J) =150
Tenemos que encontrar el número de estudiantes que no beben ni mojito ni jugo, n(M’∩J’) = n(M∪J)’
n(M∪J)’ =n(u)-n(M∪J)
n(M∪J) =n(M) +n(J)-n(M∩J)=250+500-150=600
n(M∪J)’ = 800-600=200.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por prachikathuria09 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA