Fórmula 2sinAsinB

2sinasenb es una de las fórmulas trigonométricas importantes que es igual a cos (a – b) – cos (a + b). En matemáticas, la trigonometría es una rama importante que se ocupa de la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, que tiene sus aplicaciones en diversos campos como la astronomía, la aviación, la biología marina, la astronomía, etc. Existen seis razones trigonométricas, de cuyas tres razones son los recíprocos de las otras tres razones trigonométricas. Una razón trigonométrica es una razón entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. 

razones trigonométricas

1. sen θ = lado opuesto/hipotenusa
2. cos θ = lado adyacente/hipotenusa 
3. tan θ = lado opuesto/lado adyacente
4. cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/lado opuesto
5. sec θ = 1/cos θ = hipotenusa/lado adyacente
6. cot θ = 1/tan θ = lado adyacente/lado opuesto

fórmula 2sinasinb

La fórmula 2sinasinb es una fórmula trigonométrica que se utiliza para simplificar expresiones trigonométricas y también para resolver integrales complejas y derivadas de expresiones trigonométricas. La fórmula 2sinasenb es igual a la diferencia entre la suma de los ángulos y la diferencia de los ángulos de las funciones coseno, es decir, para dos ángulos A y B,
2 sen A sen B = cos (AB) – cos (A + B). 

La fórmula de 2sinasinb es,

2 sen A sen B = cos (AB) – cos (A + B)

A partir de la fórmula, podemos observar que el doble del producto de dos funciones seno se convierte en la diferencia entre la suma de los ángulos y la diferencia de ángulos de las funciones coseno. Con la ayuda de la fórmula 2 sin A sin B, podemos extraer la fórmula de sin A sin B. 

sen A sen B = ½ [cos (A – B) – cos (A + B)]

Derivación de la fórmula 2sinasinb

Podemos derivar la fórmula 2sinasenb con la ayuda de las fórmulas de suma y diferencia de la función coseno.

cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B ———— (1)

cos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B ———— (2)

Ahora resta la ecuación (1) de la ecuación (2)

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = [cos A cos B + sen A sen B] – [cos A cos B – sen A sen B]

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = cos A cos B + sen A sen B – cos A cos B + sen A sen B

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = sen A sen B + sen A sen B

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = 2 sen A sen B

Por tanto, 2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

fórmula cos 2A

Supongamos que A = B,

Tenemos, 2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

Sustituyendo A = B en la ecuación anterior, obtenemos

⇒ 2 sen A sen A = cos (A – A) – cos (A + A)

⇒ 2 sen ² A = cos (0°) – cos 2A

⇒ 2 sen ² A = 1 – cos 2A           {Ya que, cos 0° = 1}

⇒ cos 2A = 1 – 2sen ² A

cos 2A = 1 – 2sen ² A

Problemas de muestra

Problema 1: Resuelve la integral de 3 sen 5x sen (9x/2).

Solución:

Integral de 3 sen 5x sen (9x/2) = ∫3 sen 5x sen (9x/2) dx

De la fórmula 2sinasinb tenemos,

2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

3 sen 5x sen (9x/2) = 3/2 [2 sen 5x sen (9x/2)]

= 3/2 [cos (5x – (9x/2)) – cos (5x + (9x/2))]

= 3/2 [cos (x/2) – cos (19x/2)]

Ahora, ∫3 sen 5x sen (9x/2) dx = ∫3/2 [cos(x/2) – cos(19x/2)] dx

= 3/2 ∫cos(x/2) dx – ∫cos(19x/2) dx

= 3/2 [2 sen (x/2) – 2/19 sen (19x/2)]     {∫cos (ax) = 1/a sen (ax) + c}

= 3 sen (x/2) – 3/19 sen (19x/2) 

Por tanto, la integral de 3 sin 5x sin (9x/2) = 3 [sin(x/2) – 1/19 sin (19x/2)]

Problema 2: Encuentra la derivada de 4 sen 2x sen (5x/2).

Solución:

Derivada de 4 sen 2x sen (5x/2) = d(4 sen 2x sen (5x/2))/dx

De la fórmula 2sinasinb tenemos,

2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

Ahora, 4 sen 2x sen (5x/2) = 2 [2 sen 2x sen (5x/2)]

= 2 [cos (2x – (5x/2)) – cos (2x + (5x/2))]

= 2 [cos (-x/2) – cos (9x/2)]

= 2[cos (x/2) – cos (9x/2)]      {Ya que, cos (-θ) = cos θ}

Ahora, d(4 sen 2x sen (5x/2))/dx = d{2[cos (x/2) – cos (9x/2)]}/dx

= 2{d(cos(x/2))/dx – d(cos(9x/2))/dx}

= 2{1/2 (-sin (x/2) – (- (9/2) sin (9x/2)}       {Ya que, d(cos ax)/dx = – a sin ax}

= 9 pecado (9x/2) – pecado (x/2)

Por tanto, la derivada de 4 sen 2x sen (5x/2) = 9 sen (9x/2) – sen (x/2).

Problema 3: Exprese 6 sen (11x/2) sen 7x en términos de la función coseno.

Solución: 

De la fórmula 2sinasinb tenemos,

2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

Ahora, 6 sen (11x/2) sen 7x = 3 [2 sen (11x/2) sen 7x]

= 3 [cos (11x/2 – 7x) – cos (11x/2 + 7)]

= 3 [cos (-3x/2) – cos (25x/2)]

= 3 [cos (3x/2) – cos (25x/2)]        {Ya que, cos (-θ) = cos θ}

Por tanto, 6 sen (11x/2) sen 7x = 3 [cos (3x/2) – cos (25x/2)].

Problema 4: Encuentra el valor de la expresión 7 sen (17.5°) sen (72.5°) usando la fórmula 2sinasenb.

Solución:

7 sen (17,5°) sen (72,5°) = 7/2 [2 sen (17,5°) sen (72,5°)]

De la fórmula 2sinasinb tenemos,

2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

Ahora, 7/2 [2 sin (17.5°) sin (72.5°)] = 7/2 [cos (17.7° – 72.5°) – cos (17.5° + 72.5°)]

= 7/2 [cos (-55°) – cos (90°)]

= 7/2 [cos 55° – cos 90°]      {Ya que, cos (-θ) = cos θ}

= 7/2 [0,5735 – 0]                {Ya que, cos 55° = 0,5735, cos 90° = 0}

= 2.00725            

Por lo tanto, 7 sen (17,5°) sen (72,5°) = 2,00725

Problema 5: Exprese 2 sen (12x) sen (17x/2) en términos de la función coseno.

Solución:

De la fórmula 2sinasinb tenemos,

2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

Ahora, 2 sen (12x) sen (17x/2) = [cos (12x – (17x/2) – cos(12x + (17x/2)]

= cos [(24x – 17x)/2] – cos [(24x + 17x)/2]

= coseno (7x/2) – coseno (41x/2)

Por tanto, 2 sen (12x) sen (17x/2) = cos (7x/2) – cos (41x/2).

Problema 6: Resuelve 4 sen (66,5°) sen (113,5°) usando la fórmula 2sinasenb.

Solución:

De la fórmula 2sinasinb tenemos,

2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

Ahora, 4 sen (66.5°) sen (113.5°) = 2 [2 sen (66.5°) sen (113.5°)]

= 2 [cos (66,5° – 113,5°) – cos (66,5° + 113,5°)]

= 2 [cos (-47°) – cos (180°)]

= 2 [cos 47° – cos 180°]        {Ya que, cos (-θ) = cos θ}

= 2 [0,682 – 1]                       {Ya que, cos 47° = 0,682, cos 180° = -1}

= -0.636

Por lo tanto, 4 sen (66,5°) sen (113,5°) = -0,636