Fórmula 2sinAcosB

2sinacosb es una de las fórmulas trigonométricas importantes que es igual a sin (a + b) + sin (a – b). Es una de las fórmulas de producto a suma que se utiliza para convertir el producto en una suma. La rama de las matemáticas que se relaciona con los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos se conoce como trigonometría. Hay seis razones o funciones trigonométricas, es decir, funciones seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente, donde una razón trigonométrica se define como una razón entre los lados de un triángulo rectángulo. Las funciones cosecante, secante y cotangente son las funciones recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente.

• sen θ = lado opuesto/hipotenusa
• cos θ = lado adyacente/hipotenusa 
• tan θ = lado opuesto/lado adyacente
• cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/lado opuesto
• sec θ = 1/cos θ = hipotenusa/lado adyacente
• cot θ = 1/tan θ = lado adyacente/lado opuesto

fórmula 2sinAcosB

2sinacosb es una de las fórmulas de producto a suma. De manera similar, tenemos otros tres productos para fórmulas de suma/diferencia en trigonometría, a saber, 2sinasenb, 2cosacosb y 2cosasenb. Al usar la fórmula 2sinacosb, podemos simplificar expresiones trigonométricas y también resolver integrales y derivadas que involucran expresiones de la forma 2sinacosb. Esta identidad trigonométrica se obtiene sumando las identidades sen (a + b) y sen (a – b).

La fórmula de 2sinacosb es,

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

De la fórmula, podemos observar que el producto de una función seno y una función coseno se convierte en la suma de otras dos funciones seno. Por ejemplo,

Las fórmulas de producto a suma para medios ángulos son,

2 sen (x/2) cos (y/2) = sen [(x + y)/2] + sen [(x – y)/2]

Derivación

De las fórmulas de suma y diferencia de la trigonometría, tenemos,

sen (A + B) = sen A cos B + sen B cos A ⇢ (1)
sen (A – B) = sen A cos B – sen B cos A ⇢ (2)

Ahora, al sumar las ecuaciones (1) y (2) obtenemos,

⇒ sin (A + B) + sin (A – B) = (sin A cos B + sin B cos A) + (sin A cos B – sin B cos A)

⇒ sen (A + B) + sen (A – B) = sen A cos B + sen A cos B

⇒ sen (A + B) + sen (A – B) = 2 sen A cos B

Por tanto, 2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

fórmula sen 2A

Tenemos, 2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

Ahora, consideremos que A = B

⇒ 2 sen A cos A = sen (A + A) + sen (A – A)

⇒ 2 sen A cos A = sen 2A + sen 0°

⇒2 sen A cos A = sen 2A {Ya que sen 0° = 0}

Por tanto, sen 2A = 2 sen A cos A

Problemas Resueltos

Problema 1: Expresar 5 sen 2x cos 6x en términos de la función seno.

Solución:

5 sen 2x cos 6x

Al multiplicar y dividir la ecuación dada por 2, obtenemos

(2/2) 5 sen 2x cos 6x

= 5/2 [2 sen 2x cos 6x]

Tenemos,

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

5/2 [2 sen 2x cos 6x] = 5/2 [sen (2x + 6x) + sen (2x – 6x)]

= 5/2 [sen (8x) + sin (-4x)]

= 5/2 [sen 8x – sen 4x] {ya que sen (-θ) = – sen θ}

Por tanto, 5 sen 2x cos 6x = 5/2 [sen 8x – sen 4x] 

Problema 2: Determinar la derivada de 2 sen 3x cos (11x/2).

Solución: 

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

2 sen 3x cos (11x/2) = sen [3x+ (11x/2)] + sen [3x – (11x/2)]

= pecado (17x/2) + pecado (-5x/2)

= sen (17x/2) – sen (5x/2) {ya que sen (-θ) = – sen θ}

Ahora, derivada de 2 sen 3x cos (11x/2) = d [2 sen 3x cos (11x/2) ]/dx

= d [sen (17x/2) – sin (5x/2)]/dx

= 17/2 cos (17x/2) – 5/2 cos (5x/2){Ya que, d[sen (ax)] = a cos (ax)}

= 1/2 [17 cos (17x/2) – 5 cos (5x/2)]

Por tanto, la derivada de 2 sen 3x cos (11x/2) = 1/2 [17 cos (17x/2) – 5 cos (5x/2)]

Problema 3: Escribe 8 sen 4y cos (7y/2) en términos de la función suma.

Solución:

8 sen 4y cos (7y/2) = 4 (2 sen 4y cos (7y/2))

Tenemos,

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

4 (2 sen 4y cos (7y/2)) = 4 [sen (4y + (7y/2)) + sen (4y – (7y/2))]

= 4 [pecado (15y/2) + pecado (y/2)]

Por tanto, 8 sen 4y cos (7y/2) = 4 [sen (15y/2) + sen (y/2)]

Problema 4: Encuentra el valor de la expresión 2 sen 38.5°cos 51.5° usando la fórmula 2sinacosb.

Solución:

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

2 sen 38,5° cos 51,5° = sen (38,5° + 51,5°) + sen (38,5° – 51,5°)

= pecado (90°) + pecado (-13°)

= sin (90°) – sin (13°) {ya que sin (-θ) = – sin θ}                

= 1 – 0,22495 = 0,77505, sen 90° = 1 y sen 13° = -0,22495

Por tanto, 2 sen 38,5° cos 51,5° = 0,77505

Problema 5: ¿Cuál es el valor de la integral de 3 sen (3x/2) cos (9x/2)?

Solución:

Tenemos,

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

3 sen (3x/2) cos (9x/2) = 3/2 [sen (3x/2) cos (9x/2)]

= 3/2 [sen (3x/2 + 9x/2) + sen (3x/2 – 9x/2)]

= 3/2 [sen (12x/2) + (sen (-6x/2)]

= 3/2 [sen (6x) – sen (3x)] {ya que sen (-θ) = – sen θ}    

Ahora, integral de 3 sen (3x/2) cos (9x/2) =∫3 sen (3x/2) cos (9x/2) dx

= ∫3/2 [sen (6x) – sen (3x)] dx

= 3/2 [-1/6 (cos 6x) + 1/3 cos (3x) + C]{Puesto que la integral de sin(ax) es (-1/a) cos (ax) + C}

= 1/2 (cos 3x) – 1/4 (cos 6x) + C

Por tanto, ∫3 sen (3x/2) cos (9x/2) dx = 1/2 (cos 3x) – 1/4 (cos 6x) + C

Problema 6: Calcular la derivada de 9 sen (6y) cos (2y).

Solución:

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

9 sen (6y) cos (2y) = 9/2 [2 sen (6y) cos (2y)]

= 9/2 [sen [6y + 2y] + sin [6y – 2y]

= 9/2 [sen 8y + sen 4y]

Ahora, derivada de 9 sen (6y) cos (2y) = d [9 sen (6y) cos (2y) ]/dy

= d [9/2 (sen 8y + sen 4y)]/dy

= 9/2 [8 cos 8y + 4 cos 4y] {Ya que, d[sen (ax)] = a cos (ax)}

= 36 cos 8y + 18 cos 4y

Por tanto, la derivada de 9 sen (6y) cos (2y) = 36 cos 8y + 18 cos 4y.