Fórmula de proyección escalar y vectorial

Antes de la proyección vectorial, tenemos que mirar la proyección escalar o, en general, decimos proyección de $\overrightarrow{b} on \overrightarrow{a}$ , significa que el vector $\overrightarrow{b}$ produce proyección sobre el vector $\overrightarrow{a}$ . Las proyecciones son básicamente de dos tipos: proyecciones escalares y proyecciones vectoriales. La proyección escalar nos informa sobre la magnitud de la proyección o la proyección vectorial nos informa sobre sí misma y el vector unitario de la proyección.

Proyección

Consideremos dos vectores $\overrightarrow{a}$ y estos dos vectores están cerca uno del otro desde un lado y forman un ángulo θ entre ellos. Vector $\overrightarrow{b}$ hace proyección sobre vector $\overrightarrow{a}$ . Para una mejor aclaración, puede suponer que hay dos palos como vector de posición. ponemos una antorcha en condiciones sobre el vector $\overrightarrow{b}$ . Luego, verá una sombra en el vector del primer palo, $\overrightarrow{a}$ esa sombra es la proyección hecha por el segundo palo (vector $\overrightarrow{b}$ ) en el primer palo ( $\overrightarrow{a}$ ).

Proyección escalar

proyección de $\overrightarrow{a} on \overrightarrow{b} = \frac{ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} } { |\overrightarrow{b}| }$

Similarmente,

proyección de $\overrightarrow{b} on \overrightarrow{a} = \frac{ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} } { |\overrightarrow{b}| }$

Proyección vectorial

La proyección vectorial se define como el producto de la proyección escalar de $\overrightarrow{a}$ on $\overrightarrow{b}$ y el vector unitario a lo largo de $\overrightarrow{b}$ . Proyección vectorial de $\overrightarrow{a} on \overrightarrow{b} = (\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|})\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}$

Similarmente,

Proyección vectorial de $\overrightarrow{b} on \overrightarrow{a} = (\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|})\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2}$

Problemas de muestra

Problema 1: Si $\overrightarrow{a} = 7\hat{i} + \hat{j} -4\hat{k}$ [Tex] [/Tex] y $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3 \hat{k}$ [Tex] [/Tex] . luego encuentre la proyección de a sobre el vector b.

Solución :

Aquí, $\overrightarrow{a} = 7\hat{i} + \hat{j} -4\hat{k}$ y $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3 \hat{k}$ Proyección de $\overrightarrow{a} on \overrightarrow{b}$ = $\frac{ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} } { |\overrightarrow{b}| }$

Proyección de $\overrightarrow{a} on \overrightarrow{b}$ = $\frac{ (7\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}). ( 2\hat{i} + 6 \hat{j} + 3\hat{k} ) } { | 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}|}$

= $\frac{ 14+ 6 -12 }{√(4 + 36 + 9)} = \frac{8}{7}.$

Problema 2: Encuentra la proyección de un vector a + b sobre el vector c, $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ aquí , $\overrightarrow{b} = \hat{i} + 2\hat{j} -2 \hat{k}$ y $\overrightarrow{c} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$

Solución:

Aquí $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ , $\overrightarrow{b} = \hat{i} + 2\hat{j} -2 \hat{k}$ y $\overrightarrow{c} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$

$\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c } = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$

Proyección de vector $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c }$ en $\overrightarrow{a} = \frac{ (3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} ).( 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})}{|2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}|}$

$= \frac{ 6 - 2 + 2 }{√(4+ 4+ 1)} = 6/3 = 2$

Problema 3: Encuentra la proyección del vector a sobre b, aquí, $\overrightarrow{a} = \hat{i} -\hat{j}$ y $\overrightarrow{b}=\hat{i}+\hat{j}$

Solución:

dejar $\overrightarrow{a} = \hat{i} -\hat{j}$ y $\overrightarrow{b}=\hat{i}+\hat{j}$

Proyección de $\overrightarrow{a} on \overrightarrow{b}$ = $\frac{(\hat{i} - \hat{j}).(\hat{i} +\hat{ j}) }{√2}$

= $\frac{1-1}{√2}$ = 0

Problema 4: Encuentra la proyección escalar de a sobre b, aquí, \overrightarrow{a} = 2\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}, \overrightarrow{b} = \hat{i} -2\sombrero{j} +\sombrero{k}

Solución:

dejar $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ y $\overrightarrow{b} = \hat{i} -2\hat{j} +\hat{k}$

Proyección de $\overrightarrow{a} on \overrightarrow{b}$ = $\frac{2 + 2 + 1 }{√6}$

= 5/6

Problema 5: Encuentra el valor de λ cuando la proyección escalar de a sobre b es 4, aquí, $\overrightarrow{a} = λ\hat{i} + \hat{j} +4\hat{k}$ , $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k }$

Solución :

Aquí, Proyección de $\overrightarrow{a} on \overrightarrow{b} = 4$

$\overrightarrow{a} = λ\hat{i} + \hat{j} +4\hat{k}$ y $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k }$

Proyección de $\overrightarrow{a}$ sobre $\overrightarrow{b}$ = $\frac{ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} } { |\overrightarrow{b}| }$

4 = $\frac{ 2λ + 6 + 12 } {√(4+ 36 + 3)}$

4 = $\frac{2λ + 18 }{7}$

28 = 2λ + 18

λ = 5

Problema 6: La proyección del vector a sobre b, aquí, $\overrightarrow{a}$ = $\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}$ y $\overrightarrow{b}= 4\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k}$

Solución:

$\overrightarrow{a}$ = $\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}$ y $\overrightarrow{b}= 4\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k}$

Proyección del vector $\overrightarrow{a} on \overrightarrow{b} = \frac{4 + 8 + 2}{√33}$

= $\frac{14}{√33}$

Problema 7: Encuentra la proyección vectorial de m sobre el vector n, aquí $\overrightarrow{m} = \hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$ y $\overrightarrow{n}= 4\hat{j}+3\hat{k}$

Solución:

aquí, $\overrightarrow{m} = \hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$ y $\overrightarrow{n}= 4\hat{j}+3\hat{k}$

Proyección vectorial= $\frac{(0 - 12 + 15)(4\hat{j} + 3\hat{K})} {√25}$

= $\frac{-7}{4}\hat{j}+3\hat{k}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por uditsharma333jj y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Proyección

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