Fórmula 2cosacosb

2cosa2cosb es una de las fórmulas trigonométricas importantes que es igual a cos (a + b) + cos (a – b). Es una de las fórmulas de producto a suma que se utiliza para convertir el producto en una suma. La trigonometría es una rama importante de las matemáticas que se ocupa de la relación entre los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Hay seis razones trigonométricas, donde una razón trigonométrica es una razón entre los lados de un triángulo rectángulo. Seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente son las seis razones trigonométricas, donde las funciones cosecante, secante y cotangente son las funciones recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente.

• sen θ = lado opuesto/hipotenusa
• cos θ = lado adyacente/hipotenusa 
• tan θ = lado opuesto/lado adyacente
• cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/lado opuesto
• sec θ = 1/cos θ = hipotenusa/lado adyacente
• cot θ = 1/tan θ = lado adyacente/lado opuesto

Fórmula 2cosacosb

2cosacosb es una de las fórmulas de producto a suma. De manera similar, tenemos otras tres fórmulas de producto a suma en trigonometría, es decir, 2sinasenb, 2sinacosb y 2cosasenb. Podemos usar la identidad 2cosacosb para simplificar expresiones trigonométricas y también para calcular integrales y derivadas que involucran expresiones de la forma 2cosacosb.

La fórmula de 2cosacosb es

2 Cos A cos B = cos (A+B) + cos (AB)

De la fórmula, podemos observar que el producto de dos funciones coseno se convierte en una suma de otras dos funciones coseno.

Por ejemplo,

La fórmula de producto a suma para medios ángulos es,

2 coseno (x/2) coseno (y/2) = coseno [(x + y)/2] + coseno [(x – y)/2]

Derivación

De las fórmulas de suma y diferencia de la trigonometría, tenemos,

cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B ———— (1)

cos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B ———— (2)

Ahora, al sumar las ecuaciones (1) y (2), obtenemos

⇒ cos (A + B) + cos (A – B) = cos A cos B – sen A sen B + cos A cos B + sen A sen B 

⇒ cos (A + B) + cos (A – B) = cos A cos B + cos A cos B 

⇒ coseno (A + B) + coseno (A – B) = 2 coseno A coseno B 

Por tanto, 2 Cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

Problemas de muestra

Problema 1: Expresar 3 cos 5x cos 7x en términos de la función suma.

Solución:

3 porque 5x porque 7x

Ahora multiplica y divide la ecuación dada por 2.

(2/2) 3 porque 5x porque 7x

= 3/2 [2 porque 5x porque 7x]

Tenemos, 

2 Cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

3/2 [2 cos 5x cos 7x] = 3/2 [cos (5x + 7x) + cos (5x – 7x)]

= 3/2 [cos (12x) + cos (-2x)]

= 3/2 [cos 12x + cos 2x] {ya que cos (-θ) = cos θ}

Por tanto, 3 cos 5x cos 7x = 3/2 [cos 12x + cos 2x]

Problema 2: Demuestra que, cos 2x cos (3x/2) – cos 3x cos (5x/2) = sen x sen (9x/2).

Solución:

Consideremos la ecuación del lado izquierdo,

LHS = cos 2x cos (3x/2) – cos 3x cos (5x/2)

= 1/2 [2 cos 2x cos (3x/2) – 2 cos 3x cos (5x/2)}

Tenemos, 2 Cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

= 1/2 [cos (2x + 3x/2) + cos (2x – 3x/2) – cos (3x + 5x/2) – 2 cos (3x – 5x/2)]

= 1/2 [cos (7x/2) + cos (x/2) – cos (11x/2) – cos (x/2)]

= 1/2 [cos (7x/2) – cos (11x/2)]

Usando cos A – cos B = – 2 sen [(A + B)/2] sen [(A – B)/2] obtenemos,

= 1/2 {-2 sen [(7x/2 + 11x/2)/2] sen [(7x/2 – 11/2)/2]}

= – sen(18x/4) sen(-4x/4)

= – sen (9x/2) sen (-x)

= sen x sen (9x/2) {Ya que sen (-θ) = -sen θ}

= lado derecho

Por tanto, se demuestra que cos 2x cos (3x/2) – cos 3x cos (5x/2) = sen x sen (9x/2)

Problema 3: ¿Cuál es el valor de la integral de 2 cos 4x cos (5x/2) dx?

Solución:

Por,

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

2 cos 4x cos (5x/2) = cos [4x + (5x/2)] + cos [4x – (5x/2)]

= coseno (13x/2) + coseno (3x/2)

Ahora, integral de 2 cos 4x cos (5x/2) dx =∫2 cos 4x cos (5x/2) dx 

= ∫[cos (13x/2) + cos (3x/2)] dx

= 2/13 sen (13x/2) + 2/3 cos (3x/2) + C {Puesto que la integral de cos(ax) es (1/a) sen (ax) + C}

Por tanto, ∫ 2 cos 4x cos (5x/2) dx = (2/3) sen (3x/2) + (2/13) cos (13x/2) + C

Problema 4: Determinar la derivada de 2 cos (x/2) cos (3x/2).

Solución:

Por,

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

2 coseno (x/2) coseno (3x/2) = coseno [(x/2) + (3x/2)] + coseno [(x/2) – (3x/2)]

= coseno (4x/2) + coseno (-2x/2)

= coseno (2x) + coseno (-x) 

= cos x + cos 2x {ya que cos (-θ) = cos θ}

Ahora, derivada de 2 cos (x/2) cos (3x/2) = d [2 cos (x/2) cos (3x/2) ]/dx 

= d [cos x + cos 2x]/dx

= – sen x – 2 sen 2x {Ya que, d[cos (ax)] = -a sen (ax)}

= – (sen x + sen 2x)

Por lo tanto, la derivada de 2 cos (x/2) cos (3x/2) = – (sin x + sin 2x).

Problema 5: Encuentra el valor de la expresión 3 cos 37.5° cos 52.5° usando la fórmula 2coscosb.

Solución:

3 cos 37,5° cos 52,5° = 3/2 [2 cos 37,5° cos 52,5°]

Por,

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

3/2 [2 cos 37,5° cos 52,5°] = 3/2 [cos (37,5° + 52,5°) + cos (37,5° – 52,5°)]

= 3/2 [cos (90°) + cos (-12°)]

= 3/2 [cos 90° + cos 12°] {ya que cos (-θ) = cos θ}

cos 90° = 0 y cos 12° = 0,9781

= 3/2 [0 + 0,9781]

= 1.46715

Por tanto, 3 cos 37,5° cos 52,5° = 1,46715

Problema 6: Escribe 4 cos 2y cos 5y en términos de la función suma.

Solución:

4 cos 2y cos 5y = 2 ( 2 cos 2y cos 5y)

Tenemos,

2 Cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

2 ( 2 cos 2y cos 5y) = 2 [cos (2y + 5y) + cos (2y – 5y)]

= 2 [cos 7y + cos (-3y)]

= 2 [cos 7y + cos 3y] {ya que cos (-θ) = cos θ}

Por tanto, 4 cos 2y cos 5y = 2 [cos 7y + cos 3y] 

Problema 7: Encuentra el valor de la expresión 2 cos 44.5° cos 135.5° usando la fórmula 2coscosb.

Solución:

Por,

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

2 cos 44,5° cos 135,5° = cos (44,5° + 135,5°) + cos (44,5° – 135,5°)

= coseno (180°) + coseno (-91°)

= cos (180°) + cos (91°)                        {ya que cos (-θ) = cos θ}                     

= -1 + (-0.01745) = -1.01745                cos 180° = -1 y cos 91° = -0.01745

Por tanto, 2 cos 44,5° cos 135,5° = -1,01745