Un cubo se define como un objeto sólido 3D que tiene seis caras cuadradas y todos los lados iguales entre sí. Es uno de los cinco sólidos platónicos y también se conoce como hexaedro regular. Seis caras cuadradas, ocho vértices y doce aristas forman el cubo. Su largo, ancho y alto son todos iguales, ya que es un cuadrado con todos los lados de la misma longitud. La línea común entre dos caras cualesquiera de un cubo se llama arista. Actúa como una línea límite entre dos caras.
diagonal de un cubo
La diagonal de un cubo es el segmento de línea que conecta dos vértices no adyacentes del cubo. Hay dos tipos de diagonales de cubo, es decir, diagonal de cara y diagonal de cuerpo. Una diagonal de cara une dos vértices no adyacentes a través de una sola cara, mientras que una diagonal de cuerpo hace lo mismo al atravesar el cuerpo del cubo. Hay 12 diagonales de cara y 4 diagonales de cuerpo posibles dentro de un cubo.
Fórmula de la diagonal de la cara
Longitud de la cara diagonal del cubo = √2a
dónde,
a es la longitud del lado del cubo.
Fórmula de la diagonal del cuerpo
Longitud del cuerpo diagonal del cubo = √3a
dónde,
a es la longitud del lado del cubo.
Derivación
Supongamos que tenemos un cubo con longitud de lado a, cara diagonal d y cuerpo diagonal D.
Ahora se sabe que la cara diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma con dos lados.
Entonces, usando el teorema de Pitágoras obtenemos,
re 2 = un 2 + un 2
re 2 = 2a 2
d = √2a …….. (1)
Además, la diagonal de la cara y la longitud de un lado forman un triángulo rectángulo con la diagonal del cuerpo como hipotenusa.
Nuevamente usando el teorema de Pitágoras obtenemos,
re 2 = un 2 + re 2
Usando (1) obtenemos,
re 2 = un 2 + (√2a) 2
re 2 = un 2 + 2a 2
re 2 = 3a 2
re = √3a
Esto deriva las fórmulas para las diagonales de las caras y las diagonales del cuerpo de un cubo.
Problemas de muestra
Problema 1. Calcular la diagonal de la cara de un cubo de 2 m de lado.
Solución:
Tenemos,
un = 2
Usando la fórmula que obtenemos,
d = √2a
= √2 (2)
= (1.414) (2)
= 2,83 metros
Problema 2. Calcular la diagonal de la cara de un cubo de 5 m de lado.
Solución:
Tenemos,
un = 5
Usando la fórmula que obtenemos,
d = √2a
= √2 (5)
= (1.414) (5)
= 7,07 metros
Problema 3. Calcular la diagonal del cuerpo de un cubo de 3 m de lado.
Solución:
Tenemos,
un = 3
Usando la fórmula que obtenemos,
re = √3a
= √3 (3)
= (1.732) (3)
= 5,196 metros
Problema 4. Calcular la diagonal del cuerpo de un cubo de 7 m de lado.
Solución:
Tenemos,
un = 7
Usando la fórmula que obtenemos,
re = √3a
= √3 (7)
= (1.732) (7)
= 12,12 metros
Problema 5. Calcular la longitud del lado si la diagonal de la cara de un cubo es de 6 m.
Solución:
Tenemos,
re = 6
Usando la fórmula que obtenemos,
d = √2a
=> a = d/√2
= 6/√2
= 4,24 metros
Problema 6. Calcular la longitud del lado si la diagonal del cuerpo de un cubo es 13√3 m.
Solución:
Tenemos,
D = 13√3
Usando la fórmula que obtenemos,
re = √3a
=> a = D/√3
= 13√3/√3
= 13 metros
Problema 7. Calcular la diagonal del cuerpo de un cubo si la diagonal de su cara es 9√2 m.
Solución:
Tenemos,
d = 9√2
Encuentra la longitud del lado.
d = √2a
=> a = d/√2
= 9√2/√2
= 9 metros
Ahora usando la fórmula que obtenemos,
re = √3a
= √3 (9)
= 15,58 metros
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA