Una razón trigonométrica es la razón de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo. Estas proporciones se pueden usar para calcular los lados de un triángulo rectángulo, así como los ángulos creados entre ellos. La razón del coseno se calcula calculando la razón de la longitud del lado adyacente de un ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa. Se denota por la abreviatura cos.
Si θ es el ángulo que se encuentra entre la base y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces,
cos θ = Base/Hipotenusa = BC/AC
Porque fórmula de doble ángulo
En trigonometría, cos 2x es una identidad de doble ángulo. Debido a que la función cos es un recíproco de la función secante, también se puede representar como cos 2x = 1/seg 2x. Es una identidad trigonométrica significativa que puede usarse para una variedad de problemas trigonométricos y de integración. El valor de cos 2x se repite después de cada π radianes, cos 2x = cos (2x + π). Tiene una gráfica considerablemente más estrecha que cos x. Es una función trigonométrica que devuelve el valor de la función cos de un ángulo doble.
cos 2x = cos 2 x – sen 2 x
La fórmula anterior se puede simplificar aún más utilizando la identidad seno coseno.
Poniendo sen 2 x = 1 – cos 2 x, la fórmula se convierte en,
cos 2x = cos 2 x – (1 – cos 2 x)
cos 2x = 2 cos 2 x – 1
Poniendo cos 2 x = 1 – sen 2 x, la fórmula se convierte en,
cos 2x = (1 – sen 2 x) – sen 2 x
cos 2x = 1 – 2 sen 2 x
Derivación
La fórmula para cos 2x se puede derivar usando la fórmula de suma de ángulos para la función coseno.
Ya lo sabemos, cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Para calcular el valor del doble ángulo del coseno, el ángulo A debe ser igual al ángulo B.
Poniendo A = B obtenemos,
cos (A + A) = cos A cos A – sen A sen A
cos 2A = cos 2 A – sen 2 A
Esto deriva la fórmula para el ángulo doble de coseno.
Problemas de muestra
Problema 1. Si cos x = 3/5, encuentra el valor de cos 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, cos x = 3/5.
Claramente, sen x = 4/5.
Usando la fórmula que obtenemos,
cos 2x = cos 2 x – sen 2 x
= (3/5) 2 – (4/5) 2
= 25/9 – 25/16
= -7/25
Problema 2. Si cos x = 12/13, encuentra el valor de cos 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, cos x = 12/13.
Claramente, sen x = 5/13.
Usando la fórmula que obtenemos,
cos 2x = cos 2 x – sen 2 x
= (12/13) 2 – (5/13) 2
= 144/169 – 25/169
= 119/169
Problema 3. Si sen x = 3/5, encuentra el valor de cos 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, sen x = 3/5.
Claramente cos x = 4/5.
Usando la fórmula que obtenemos,
cos 2x = cos 2 x – sen 2 x
= (4/5) 2 – (3/5) 2
= 16/25 – 9/25
= 7/25
Problema 4. Si tan x = 12/5, encuentra el valor de cos 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, tan x = 12/5.
Claramente sen x = 12/13 y cos x = 5/13.
Usando la fórmula que obtenemos,
cos 2x = cos 2 x – sen 2 x
= (5/13) 2 – (12/13) 2
= 25/169 – 144/169
= -119/169
Problema 5. Si sec x = 17/8, encuentra el valor de cos 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, sec x = 17/8.
Claramente cos x = 8/17 y sen x = 15/17.
Usando la fórmula que obtenemos,
cos 2x = cos 2 x – sen 2 x
= (8/17) 2 – (15/17) 2
= 64/289 – 225/289
= -161/225
Problema 6. Si cot x = 15/8, encuentra el valor de cos 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos, cuna x = 15/8.
Claramente cos x = 15/17 y sen x = 8/17.
Usando la fórmula que obtenemos,
cos 2x = cos 2 x – sen 2 x
= (15/17) 2 – (8/17) 2
= 225/289 – 64/289
= 161/225
Problema 7. Si cos 2 x = 5/8, encuentra el valor de cos 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos,
cos 2 x = 5/8
Usando la fórmula que obtenemos,
cos 2x = 2 cos 2 x – 1
= 2 (5/8) – 1
= 5/4 – 1
= 1/4
Problema 8. Si sen 2 x = 6/7, encuentra el valor de cos 2x usando la fórmula.
Solución:
Tenemos,
sen 2 x = 6/7
Usando la fórmula que obtenemos,
cos 2x = 1 – 2 sen 2 x
= 1 – 2 (6/7)
= 1 – 12/7
= -5/7
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA