Cambio porcentual sucesivo

En matemáticas, un porcentaje es un número o razón expresado como una fracción de 100 que se puede representar en forma decimal o fraccionaria. El porcentaje no tiene unidad de medida y es un número adimensional ya que es la razón de dos cantidades idénticas. La palabra porcentaje tiene su origen en la palabra latina “percentum”, que significa “por cien” y se representa con la notación “%”. Los porcentajes se pueden utilizar para comparar cantidades. Un porcentaje se calcula dividiendo el valor real por el valor total, y el resultado se multiplica por 100. 

Porcentaje (%) = (Valor real/valor total) × 100%

Cambio porcentual

Cambio porcentual significa el cambio en el valor de una cantidad durante un período de tiempo. El cambio porcentual de una cantidad es la relación entre el cambio de valor y su valor inicial multiplicado por 100. El cambio porcentual se calcula utilizando la fórmula que se indica a continuación:

Cambio porcentual = [(cambio en valor)/valor original] × 100%

Donde Cambio en valor = Valor final – valor original

Aumento porcentual

Un aumento porcentual se refiere al incremento en el valor de una cantidad durante un período de tiempo, es decir, el valor actual de la cantidad es mayor que su valor original. Para calcular el porcentaje de aumento, primero tenemos que encontrar la diferencia entre el valor original y el valor aumentado. Luego, la relación entre la diferencia obtenida y el valor original se multiplica por 100. El aumento porcentual se calcula utilizando la fórmula a continuación.

Incremento porcentual = [(Valor final – Valor original)/Valor original] × 100%

Disminución porcentual

Una disminución porcentual se refiere a la disminución en el valor de una cantidad durante un período de tiempo, es decir, el valor presente de la cantidad es menor que su valor original. Para calcular el porcentaje de disminución, primero tenemos que encontrar la diferencia entre el valor original y el valor disminuido. Luego, la relación entre la diferencia obtenida y el valor original se multiplica por 100. La disminución porcentual se calcula utilizando la fórmula a continuación.

Disminución porcentual = [(Valor original – Valor final)/Valor original] × 100%

Cambio porcentual sucesivo

Cuando se aplican dos o más cambios porcentuales a una cantidad consecutivamente, el cambio porcentual se denomina “cambio porcentual sucesivo”. Aquí, el cambio final no es la simple suma de dos o más porcentajes. En un cambio de porcentaje sucesivo, una cantidad cambia en algún porcentaje, y la nueva cantidad obtenida cambia en otro porcentaje, es decir, ambos porcentajes no se aplican al mismo valor real.

Cambio porcentual de incrementos sucesivos

Cuando dos o más cambios porcentuales aumentados se aplican a una cantidad consecutivamente, el cambio porcentual se denomina “cambio porcentual de incrementos sucesivos”. Por ejemplo, si la población del pueblo aumentó un a% y luego un b%, ahora tenemos que aplicar el primer porcentaje, es decir, un%, al valor inicial. Luego tenemos que aplicar el segundo porcentaje, es decir, b%, al valor resultante obtenido del primer cambio porcentual.

Sea z la población del pueblo.

Ahora, el primer incremento porcentual = z + (z × a/100) = z (1 + a/100) = X

Segundo aumento porcentual = X + (X × b/100) = {z (1 + a/100) + [z × (1 + a/100) × (b/100)]}

= z (1 + a/100) (1 + b/100) = Y

Por lo tanto, el cambio porcentual neto en la población del pueblo después de dos incrementos sucesivos = {(Y – z)/z} × 100

Si el valor de un objeto x aumenta sucesivamente en a%, b% y luego en c%, el valor final es x (1 + a/100) (1 + b/100) (1 + c/100).

Cambio de porcentaje de disminución sucesiva

Cuando dos o más cambios porcentuales reducidos se aplican a una cantidad consecutivamente, el cambio porcentual se denomina “cambio porcentual de disminución sucesiva”. Por ejemplo, si el precio de un producto se reduce en un% y luego en un b%, ahora tenemos que aplicar el primer porcentaje, es decir, un%, al valor inicial del producto. Luego tenemos que aplicar el segundo porcentaje, es decir, b%, al valor resultante obtenido del primer cambio porcentual.

Sea el precio del producto z.

Ahora, la primera disminución porcentual = z – (z × a/100) = z (1 – a/100) = X

Segunda disminución porcentual = X – (X × b/100) = {z (1 – a/100) – [z × (1 – a/100) × (b/100)]}

= z (1- a/100) (1 – b/100) = Y

Por lo tanto, el cambio porcentual neto en el precio del producto después de dos decrementos sucesivos = {(Y – z)/z} × 100

Si el valor de un objeto x se reduce sucesivamente en a%, b% y luego en c%, el valor final es x (1 – a/100) (1 – b/100) (1 – c/100) .

Otro cambio porcentual sucesivo

Tanto el incremento porcentual como el decremento porcentual también se pueden aplicar sucesivamente al valor inicial de un objeto, y los cambios porcentuales también se pueden usar varias veces.

Si el valor de un objeto x cambia sucesivamente en a%, b% y luego en c%, el valor final es x (1 ± a/100) (1 ± b/100) (1 ± c/100), donde el signo positivo indica un incremento mientras que el signo negativo indica una disminución.

Problemas de muestra

Problema 1: Primero se reduce un número en un 15% y luego se reduce en un 20%. El número original se ha reducido por completo en?

Solución:

Sea el número x,

Ahora el número se reduce en un 15%

= x – (x × 15/100) = 85x/100

Ahora el número se reduce aún más en un 20%

= 85x/100 – (85x/100 × 20/100)

= 68x/100

El valor final del número = 68x/100

Ahora calcula el cambio porcentual

Cambio porcentual = {(Valor final – Valor inicial)/Valor inicial} × 100%

 = {(68x/100 – x)/x} × 100%

= (-32x/100) × 100%

= – 32%

Aquí, el signo negativo indica disminución. Por lo tanto, la disminución neta es del 32%

Problema 2: La población de un pueblo aumentó un 5 % en 2020. Volverá a aumentar un 10 % en 2021. Encuentra el cambio neto en el incremento de población del pueblo.

Solución:

Sea x la población del pueblo,

Dado que la población de un pueblo se incrementa en un 5% y se incrementa en un 10%.

Sabemos que si el valor de un objeto x cambia en un% y luego en un b%, entonces el valor final = x (1 ± a/100) (1 ± b/100),

Donde el signo positivo indica un incremento mientras que el signo negativo indica un decremento.

Por tanto, la población final del pueblo = x (1 + 5/100) × (1 + 10/100) = (x) × (105/100) × (110/100) = 1,155x

Ahora, el cambio porcentual = {(Valor final – Valor inicial)/Valor inicial} × 100

= {(1.155x – x)/x} 100

= 15,5%

Por tanto, el incremento neto de la población de la localidad es del 15,5%.

Problema 3: ¿Cuál debe ser el cambio porcentual total en el volumen de un paralelepípedo si su largo y ancho se reducen en un 20 % y un 30 %, respectivamente, mientras que su altura aumenta en un 40 %?

Solución: 

Sea x el volumen del paralelepípedo,

Volumen del paralelepípedo = l × b × h

Dado que el largo y el ancho de un paralelepípedo disminuyen un 20% y un 30% respectivamente, y la altura aumenta un 40%.

Sabemos que si el valor de un objeto x cambia en a%, b% y luego c% sucesivamente, 

Entonces el valor final = x (1 ± a/100) (1 ± b/100) (1 ± c/100), donde el signo positivo indica un incremento mientras que el signo negativo indica una disminución.

Por lo tanto, el volumen final del paralelepípedo = x (1 – 20/100) × (1 – 30/100) × (1 + 40/100)

= (x) × (80/100) × (70/100) × (140/100) = 0,784x

Ahora, el cambio porcentual = {(Valor final – Valor inicial)/Valor inicial} × 100

= {(0.784x – x)/x} × 100 = – 2.16% (el signo negativo indica el decremento)

Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo se reduce en un 2,16 %.

Problema 4: Ram invirtió cierta cantidad en acciones. Las acciones subieron un 25% un día y cayeron un 15% al ​​día siguiente. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia o pérdida de Ram?

Solución:

Sea x la cantidad invertida por Ram en acciones,

Dado que las acciones subieron un 25% el primer día y luego bajaron un 15% al ​​día siguiente.

Sabemos que si el valor de un objeto x cambia en un% y luego en un b% entonces el valor final w= x (1 ± a/100) (1 ± b/100),

Donde el signo positivo indica un incremento mientras que el signo negativo indica un decremento.

Por tanto, el valor final de las acciones = x(1 + 25/100) (1 – 15/100) = (x) × (125/100) × (85/100) = 1,0625x

Ahora, el cambio porcentual = {(Valor final – Valor inicial)/Valor inicial} × 100

= {(1.0625x – x)/x} × 100

= 6,25%

Por lo tanto, Ram tuvo una ganancia de 6.25%

Problema 5: ¿Cuál debe ser el cambio porcentual neto en el área de un rectángulo si su largo aumenta en un 10 % mientras que su ancho disminuye en un 7 %?

Solución: 

Sea x el área del rectángulo,

Sabemos que, el área del rectángulo = l × b

Dado que, la longitud se incrementa en un 10% y la anchura se reduce en un 7%.

Sabemos que si el valor de un objeto x cambia en un% y luego en un b% entonces el valor final w= x (1 ± a/100) (1 ± b/100),

Donde el signo positivo indica un incremento mientras que el signo negativo indica un decremento.

Por lo tanto, valor final del área = x (1 + 10/100) (1 – 7/100) = x × (11/10) × (93/100) = 1,023x

Ahora, el cambio porcentual = {(Valor final – Valor inicial)/Valor inicial} × 100

= {(1,023x – x)/x) × 100 = 2,3 %

Por lo tanto, el área del rectángulo aumenta en un 2,3%

Problema 6: El comerciante dio 20% y 30% de descuento en bolsas para una venta de aniversario. ¿Cuál es el descuento final dado por el comerciante?

Solución:

Sea el precio de una bolsa x,

Dado eso, el comerciante dio un 20% y un 30% de descuento en las bolsas.

Sabemos que si el valor de un objeto x cambia en un% y luego en un b%, entonces el valor final,

w = x (1 ± a/100) (1 ± b/100),

Donde el signo positivo indica un incremento mientras que el signo negativo indica un decremento.

Por lo tanto, el precio final = x(1 – 20/100)(1 – 30/100) = x × (80/100) × (70/100) = 0,56x

Ahora, el cambio porcentual = {(Valor final – Valor inicial)/Valor inicial} × 100

= {(0.56x – x)/x} × 100 = – 44% (el signo negativo indica el decremento)

Por lo tanto, el descuento final otorgado por el comerciante es del 44%.