En geometría, una esfera es una figura sólida tridimensional que tiene forma redonda, con cada punto en su superficie equidistante de su centro. La distancia entre cualquier punto de la superficie de una esfera y su centro se denomina “radio de una esfera”. Una esfera es una figura tridimensional que se define en tres dimensiones, es decir, el eje x, el eje y y el eje z, mientras que un círculo es una figura bidimensional que se define en un plano. Un globo terráqueo, una pelota de fútbol, etc., son algunos ejemplos de una esfera que vemos en nuestra vida diaria.
Área de superficie de una esfera
El área de superficie curva cubierta por un objeto esférico tridimensional en el espacio se denomina área de superficie total de una esfera. La fórmula para el área superficial de una esfera se da como,
El área de superficie de una esfera = 4 π r 2 unidades cuadradas
Donde r = radio de la esfera.
Esfera
Derivación del área de superficie de una esfera
El área ocupada por la superficie de una esfera en el espacio es el área de superficie de una esfera. Sabemos que una esfera tiene forma redonda, así que para calcular su área de superficie, podemos conectarla a una forma curva, como un cilindro. Un cilindro es una figura tridimensional que tiene una superficie curva con dos superficies planas a cada lado. Consideremos que el radio de la esfera y el radio de un cilindro es el mismo. Entonces la esfera puede encajar perfectamente en un cilindro. Por tanto, la altura de la esfera es igual a la altura de una esfera, es decir, el diámetro de una esfera. Este hecho fue probado por el matemático Arquímedes, que el área superficial de una esfera de radio “r” es igual al área superficial lateral de un cilindro de radio “r”.
Por lo tanto,
El área de superficie de una esfera = El área de superficie lateral de un cilindro
Lo sabemos,
El área de la superficie lateral de un cilindro = 2πrh,
Donde r es el radio del cilindro y h es su altura.
Hemos supuesto que la esfera encaja perfectamente en el cilindro. Entonces, la altura del cilindro es igual al diámetro de la esfera.
Altura del cilindro (h) = Diámetro de la esfera (d) = 2r (donde r es el radio)
Por lo tanto,
El área de superficie de una esfera = El área de superficie lateral de un cilindro = 2πrh
Área de superficie de la esfera = 2πr × (2r) = 4πr 2
Por eso,
El área de superficie de la esfera = 4πr 2 unidades cuadradas
Donde r = radio de la esfera
Determinación del área de superficie de una esfera.
Consideremos un ejemplo para ver cómo determinar el área de superficie de una esfera usando su fórmula.
Ejemplo: Encuentra el área de la superficie de una esfera de 4 pulgadas de radio.
Paso 1: Tenga en cuenta el radio de la esfera dada. Aquí, el radio de la esfera es de 4 pulgadas.
Paso 2: Sabemos que el área de superficie de una esfera = 4πr 2 . Entonces, sustituya el valor del radio dado en la ecuación = 4 × (3.14) × (4) 2 = 200.96
Paso 3: Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera = es de 200,96 pulgadas cuadradas.
Problemas de muestra
Problema 1: Calcular la superficie total de una esfera de 15 cm de radio. (Tome π = 3.14)
Solución:
Dado, el radio de la esfera = 15 cm
Sabemos que el área total de la superficie de una esfera = 4 π r 2 unidades cuadradas
= 4 × (3,14) × (15) 2
= 2826 cm2
Por lo tanto, el área superficial total de la esfera es 2826 cm 2 .
Problema 2: Calcula el diámetro de una esfera cuya superficie es de 616 pulgadas cuadradas. (Tome π = 22/7)
Solución:
Dado, el área de la superficie curva de la esfera = 616 pulgadas cuadradas
Sabemos,
El área de superficie total de una esfera = 4 π r 2 unidades cuadradas
⇒ 4 π r 2 = 616
⇒ 4 × (22/7) × r2 = 616
⇒r2 = (616 × 7)/(4 × 22) = 49
⇒ r = √49 = 7 pulgadas
Sabemos, diámetro = 2 × radio = 2 × 7 = 14 pulgadas
Por lo tanto, el diámetro de la esfera es de 14 pulgadas.
Problema 3: Halla el costo que se requiere para pintar una pelota que tiene forma de esfera con un radio de 10 cm. El costo de pintura de la pelota es de ₨ 4 por cm cuadrado. (Tome π = 3.14)
Solución:
Dado, el radio de la pelota = 10 cm
Lo sabemos,
El área de superficie de una esfera = 4 π r 2 unidades cuadradas
= 4 × (3,14) × (10) 2
= 1256 cm cuadrados
Por lo tanto, el costo total de pintar la pelota = 4 × 1256 = ₨ 5024/-
Problema 4: Halla el área superficial de una esfera cuyo diámetro es de 21 cm. (Tome π = 22/7)
Solución:
Dado, el diámetro de una esfera es de 21 cm.
Sabemos,
diámetro = 2 × radio
⇒ 21 = 2 × r ⇒ r = 10,5 cm
Ahora, el área de superficie de una esfera = 4 π r 2 unidades cuadradas
= 4 × (22/7) × (10,5)
= 1386 cm2
Por lo tanto, el área de superficie total de la esfera = 1386 cm2
Problema 5: Encuentra la razón entre las áreas superficiales de dos esferas cuyos radios están en la razón de 4:3. (Tome π = 22/7)
Solución:
Dado, la relación entre los radios de dos esferas = 4:3
Lo sabemos,
El área de superficie de una esfera = 4 π r 2
De la ecuación, podemos decir que el área superficial de una esfera es directamente proporcional al cuadrado de su radio.
Área ∝ (radio) 2
⇒ A 1 /A 2 = (r 1 ) 2 /(r 2 ) 2
⇒ A 1 /A 2 = (4) 2 /(3) 2 = 16/9
Por lo tanto, la relación entre las áreas superficiales totales de las dos esferas dadas es 16:9.
Problema 6: Encuentra la razón entre los radios de dos esferas cuando sus áreas superficiales están en la razón de 25:121. (Tome π = 22/7)
Solución:
Dado, la relación entre las áreas de superficie total de dos esferas = 25:121
Lo sabemos,
El área de superficie total de una esfera = 4 π r 2
De la ecuación, podemos decir que el área superficial de una esfera es directamente proporcional al cuadrado de su radio.
Área ∝ (radio) 2 ⇒ radio ∝ √Área
⇒ r 1 /r 2 = √A 1 /√A 2
⇒ r1 / r2 = √25/√121 = 5/11
Por lo tanto, la razón entre los radios de las dos esferas dadas es 5:11.
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Artículo escrito por kiran086472 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA