Propiedades de las transformadas z

Una transformada z es importante para analizar señales y sistemas discretos. En este artículo, veremos las propiedades de z-Transforms. Estas propiedades son útiles para calcular transformadas de señales discretas complejas en el dominio del tiempo.

1. Linealidad: Si tenemos dos secuencias x ₁ [n] y x ₂ [n], y sus z-transformadas individuales como X ₁ (z) y X ₂ (z), entonces la propiedad de linealidad nos permite escribir:

$\begin{aligned}X(z) & = Z { ax_{1}[n]+bx_{2}[n] } \\ & = aX_{1}(z) + bX_{2}(z)\end{aligned}$

Esto se prueba fácilmente. Primero considere $x[n]=ax_{1}[n]+bx_{2}[n]$

Entonces, de la definición, vemos:

$\begin{aligned}X(z)&= \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ } x[n]z^{-n}\\&= \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ }( ax_{1}[n]+bx_{2}[n])z^{-n}\\&= a\sum _{ n=0 }^{ \infty }x_{1}[n]z^{-n}+b\sum _{ n=0 }^{ \infty }x_{2}[n]z^{-n} \\&= aX_{1}(z) + bX_{2}(z)\end{aligned}$

2. Desplazamiento en el tiempo: si tenemos una secuencia desplazada en el tiempo como x[nk], entonces su transformación z viene dada por Z{ x[nk]} = z^{-k}X(z).

Tomemos n – k = m, es decir, n = k + m y y[n] = x[nk]. Ahora aquí asumimos que x[n] comienza desde n=0, por lo tanto, x[nk] comienza desde n=k, o nk=0, o desde m=0.

$\begin{aligned}Y(z) & = \sum_{m=0}^{\infty }y[n]z^{-n} \\& = \sum_{m=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n} \\&= \sum_{m=0}^{\infty }x[m]z^{-m-k} \\& = z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty }x[m]z^{-m} \\&= z^{-k}X(z)\end{aligned}$

3. Inversión de tiempo: la propiedad de inversión de tiempo establece que $Z{ x[-n]} = X(1/z)$

Vamos a demostrar formalmente esta afirmación tomando y[n]=x[-n].

$\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty }y[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty }x[-n]z^{-n}\end{aligned}$

Ahora tomemos -n=m. Después

$\begin{aligned}\sum_{m=0}^{ -\infty}x[m]z^{m} & = \sum_{m=-\infty}^{0 }x[m]z^{m}\\ & = \sum_{-m=\infty}^{0 }x[m](z^{-1})^{-m}\\ & = X(z^{-1})\end{aligned}$

4. Escalado en el dominio z: cuando multiplicamos la secuencia de señales x[n] en el dominio del tiempo con un factor exponencial a ⁿ , la transformada z equivalente de la nueva señal se escala por un factor de a.

Básicamente, $Z{ anx[n]}=X(z/a)$ .

La prueba es elemental y se muestra a continuación.

$\begin{aligned} \sum _{ n=0 }^{ \infty } a^{n}x[n]z^{-n} & = \sum _{ n=0 }^{ \infty } x[n](a^{-1}z)^{-n}\\ &=\sum _{ n=0 }^{ \infty } x[n](z/a)^{-n} \\ = X(z/a)\end{aligned}$

5. Diferenciación en el dominio z: Sabemos: $X(z)=\sum_{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$

Derivando con respecto a z, obtenemos

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} X(z)}{\mathrm{d} z} = -\sum_{n=0}^{\infty }nx[n]z^{-n-1} & \\ = -z^{-1} \sum_{n=0}^{\infty }nx[n]z^{-n}\end{aligned}$

$\begin{aligned} -z\frac{\mathrm{d} X(z)}{\mathrm{d} z} & = \\ \sum_{n=0}^{\infty }(nx[n])z^{-n}\end{aligned}$

Por lo tanto, podemos deducir que para k diferenciaciones, obtenemos $Z{ n^kx[n]} = (-1)^kz^k\frac{\mathrm{d^{k}}X(z) }{\mathrm{d} z^{k}}$

6. Convolución: La convolución de dos secuencias x[n] y h[n] se define como $x[n]*h[n]=\sum_{k=0}^{\infty }x[k]h[n-k]$

Ahora las transformadas z de x[n] y h[n] son X(z) y H(z) respectivamente. Usando esta notación, tenemos

$\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty }(x[n]*h[n])z^{-n} =\sum_{n=0}^{\infty }\sum_{k=0}^{\infty }x[k]h[n-k]z^{-n}\\=\sum_{n=0}^{\infty }\sum_{k=0}^{\infty }x[k]h[n-k]z^{-(n-k)}z^{-k}\\ =\sum_{n=0}^{\infty }(\sum_{k=0}^{\infty }x[k]z^{-k})h[n-k]z^{-(n-k)}\\ =\sum_{n=0}^{\infty }X(z)h[n-k]z^{-(n-k)}\\ =X(z)\sum_{n-k=0}^{\infty }h[n-k]z^{-(n-k)}\\ =X(z)H(z)\end{aligned}$

Por lo tanto, la convolución en el dominio del tiempo es una multiplicación en el dominio z.

7. Teorema del valor inicial: El teorema del valor inicial nos brinda una herramienta para calcular el valor inicial de la secuencia x[n], es decir, x[0] en el dominio z tomando un límite del valor de X(z). Establece que la siguiente equivalencia es factible.

$x[0] = \lim _{ z\rightarrow \infty } x(Z)$

La demostración, como antes, se basa en la definición de X(z).

$\begin{aligned} X(z) = \sum_{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n} & \\ = x[0]z^0+x[1]z^{-1}+z[2]z^{-2}+....&\\ \end{aligned}$

Claramente, si queremos obtener x[0], podemos hacer que z se acerque al infinito para que todos los demás términos desaparezcan. Lo que queda es precisamente el enunciado del teorema presentado antes.

8. Teorema del valor final: El teorema del valor final nos permite conocer el valor final de x[n], o el valor infinito de x[n], usando los límites apropiados de X(z).

Se afirma que $x(\infty ) = \lim _{ z\rightarrow 1 } X(z)(1-z^{-1})$

Si tomamos la transformada z de x[n]-x[n-1], entonces obtenemos $\begin{aligned} X(z)-z^{-1}X(z) & =\sum_{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}-z^{-1} \sum_{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n} \\& = x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+...-z^{-1}(x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+...) \end{aligned}$

Ahora tomando el límite z⇢1, vemos que entramos $x[1]-x[0]+x[2]-x[1]+x[3]-x[2]+...+x[\infty]-x[\infty -1]$ en el lado derecho, lo que se simplifica a x[\infty] básicamente. Por lo tanto, el teorema está probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por srimandutta y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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