La geometría es una de las ramas antiguas de las matemáticas. Se ocupa de las propiedades del espacio relacionadas con la distancia, la forma, el tamaño y la posición relativa de las figuras. Un matemático que trabaja en el campo de la geometría se llama geómetra. Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicó casi exclusivamente a la geometría euclidiana que incluye las nociones de punto, línea, plano, distancia, ángulo, superficie y curva, como conceptos fundamentales.
Sólidos platónicos
Un sólido platónico es un poliedro ordinario en un espacio euclidiano de tres capas. Ser un poliedro regular implica que las caras son compatibles e indistinguibles en forma y tamaño, los polígonos regulares son aquellos en los que todos los ángulos son idénticos y todas las aristas son iguales, y un número similar de caras se encuentran en cada vértice. Sólo hay cinco poliédricos.
Los sólidos platónicos son inconfundibles en la forma de pensar de Platón, su homónimo. En Timeo c.360 a. C., Platón escribió sobre ellos, en el que relacionó cada uno de los cuatro componentes tradicionales (tierra, aire, agua y fuego) con un sólido regular. El cubo se relacionaba con la tierra, el octaedro se relacionaba con el aire, el icosaedro se relacionaba con el agua, el tetraedro se relacionaba con el fuego y el dodecaedro se relacionaba como se hacían los cielos con este. Cinco tipos de sólidos platónicos son,
- Cubo
- Octaedro
- icosaedro
- tetraedro
- Dodecaedro
Fórmula de sólidos platónicos
Hay múltiples fórmulas para los sólidos platónicos, ya que hay una variedad de sólidos como se discutió anteriormente, está el cubo, el octaedro, el icosaedro, etc. Luego hay diferentes fórmulas, por ejemplo, área de superficie total, área de superficie lateral, etc. Tomemos un vistazo a estas fórmulas con más detalle,
Cubo
En las fórmulas del cubo, aprenderemos a encontrar las diagonales, el volumen del cubo y el área de la superficie del cubo. El cubo contiene doce aristas, ocho vértices y seis caras.
Área de superficie del cubo
El área de la superficie del cubo se divide en dos tipos,
- Área de superficie lateral del cubo
- Área de superficie total del cubo
El área de la superficie lateral de un cubo es la suma de todas las caras laterales, por lo que en el cubo hay 4 caras laterales. Por lo tanto, el área de la superficie lateral del cubo es,
Superficie lateral = 4a 2
Donde a = longitud del lado.
El área total de la superficie del cubo es la suma del área de la base y el área de la superficie vertical. Entonces el cubo tiene las mismas dimensiones que los cuadrados. Por lo tanto, el área de la superficie total del cubo es,
Superficie total = 6a 2
Donde a = longitud del lado.
volumen del cubo
En la fórmula del volumen de un cubo, podemos especificar el Volumen de dos maneras,
Volumen del cubo por longitud de lado = a 3
donde a = longitud del lado
O
Volumen del cubo por longitud diagonal = (√3× d 3 )/9
Donde d = longitud de la diagonal del cubo
diagonal de un cubo
La línea que une los dos vértices opuestos de un cubo se llama diagonal del cubo. La diagonal del cubo nos ayuda a encontrar las longitudes de las diagonales principal y de cara.
Longitud de la diagonal principal = √3 × a unidades.
Longitud de la diagonal de la cara = √ 2 × a unidades.
Donde a = Longitud del lado.
Octaedro
En las fórmulas del octaedro, conoceremos cómo encontrar el volumen del octaedro y el área de la superficie del octaedro. El octaedro contiene doce aristas, seis vértices y 4 aristas que se encuentran en cada vértice, ocho caras y forma de triángulo equilátero.
Superficie del Octaedro
El área del octaedro de un lado es el área del triángulo equilátero, por lo que el área total de la superficie del octaedro es el área de todos los lados. Como el octaedro tiene 8 lados equiláteros,
Área del lado equilátero = (√3/4) × a 2
Área de superficie del octaedro = 8 × (√3/4) × a 2 = 2 × √3× a 2
donde a = longitud del lado
Volumen de un octaedro
El octaedro está formado por dos pirámides, por lo que podemos calcular el volumen de una pirámide y multiplicarlo por dos para obtener el volumen del octaedro.
- El volumen de la pirámide = (Altura × Base)/3
- Altura de la pirámide = √(a 2 – (a/√2)) 2
- Base de la pirámide = un 2
Volumen del octaedro = 2× volumen de la pirámide = 2 × (a 3 )/3√2 = √2/3 × a 3
donde a = longitud del lado
icosaedro
En las fórmulas del Icosaedro, conoceremos cómo encontrar el volumen del Icosaedro y el área de la superficie del Icosaedro. El icosaedro contiene veinte caras, doce vértices y treinta aristas.
Fórmula de volumen
Fórmula de volumen del icosaedro = (5/12) × (3 + √5) × a 3
donde a = longitud del lado
Fórmula del área de superficie
Fórmula del área superficial del icosaedro = (5√3 × a 2 )
donde a = longitud del lado
tetraedro
En las fórmulas del tetraedro, conoceremos cómo encontrar el volumen del tetraedro y el área de la superficie del tetraedro. El tetraedro contiene cuatro caras que tienen triángulos equiláteros como caras, cuatro vértices que son equidistantes entre sí y seis aristas.
Fórmula de volumen
Fórmula del volumen del Tetraedro = (Área de la base × altura) × (1/3) = (√2/12) × a 3 unidades cúbicas
donde a = longitud del lado
Fórmula del área de superficie
Área de superficie total del tetraedro = Suma de los 4 triángulos equiláteros = 4 × (√3)/4 × a 2 = √3 × a 2 unidades cuadradas.
donde a = longitud del lado
Dodecaedro
En la fórmula del dodecaedro, conoceremos cómo encontrar el volumen del dodecaedro y el área de la superficie del dodecaedro. El dodecaedro contiene doce lados pentagonales, veinte vértices donde en cada vértice se encuentran 3 aristas y treinta aristas.
DODECAEDRO
Fórmula de volumen
Fórmula de volumen del dodecaedro = 7,66 × a 3 unidades cúbicas
donde a = longitud del lado
Fórmula del área de superficie
Fórmula del área de superficie del dodecaedro = 20,64 × a 2 unidades cuadradas
donde a = longitud del lado
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: ¿Cuál es la cantidad de agua de lluvia almacenada en un recipiente en forma de cubo que tiene un lado de 10 pulgadas de largo?
Solución:
Dado,
La longitud del contenedor es = 10 pulgadas
La cantidad de agua de lluvia almacenada en el contenedor es =?
El volumen del contenedor dará la cantidad de agua de lluvia almacenada en el contenedor. Entonces, dado que la forma del recipiente es un cubo, calcule el volumen del cubo.
El volumen del cubo = a 3 = 10 3 = 1000 pulgadas 3
La cantidad almacenada de agua de lluvia en el recipiente es = 1000 pulgadas 3
Pregunta 2: Yaswanthi tiene un par de cajas de joyas que tienen la forma de un octaedro. Como curiosidad, quiere encontrar el área de superficie de cada joyero. ¿Calcula el área de superficie de cada joyero donde la longitud es de 0,8 pulgadas?
Solución:
Dado,
Longitud del lado (a) = 0,8 pulgadas.
El área de la superficie del Octaedro = 2 × √3 × a 2
Sustituya el valor a en la fórmula anterior,
El área de la superficie del Octaedro = 2 × √3 × (0.8) 2
El área de superficie del joyero = 2.2170 pulgadas 2
Pregunta 3: Una obra de arte con forma de icosaedro tiene una longitud de lado de 9 pulgadas. Encuentra el volumen de la obra de arte.
Solución:
Dado,
Longitud del lado (a) = 9 pulgadas
El volumen del Icosaedro = (5/12) × (3+√5) × a 3
El volumen de la obra de arte = (5/12) × (3 + √5) × (9) 3 = 1590,45
Pregunta 4: ¿Calcule el área de superficie total del tetraedro donde la longitud se da como 4 unidades?
Solución:
Dado,
Longitud del lado = 4 unidades
El área de superficie total del Tetraedro = √3 × a 2
Sustituyendo el valor de a en la fórmula anterior,
Superficie total = √3 × 4 2 = 16√3 = 27,71 unidades cuadradas.
Pregunta 5: ¿Encuentre el área de la superficie del dodecaedro donde la suma de la longitud de todos los lados es 120 pulgadas?
Solución:
Dado,
La suma de la longitud de todos los lados del dodecaedro son = 120 pulgadas
Como el dodecaedro tiene 30 aristas, la longitud de cada arista es (a) = 120/30 = 4 pulgadas
El área de superficie del dodecaedro = 20,64 × a 2 unidades cuadradas
Sustituyendo el valor a en la fórmula anterior,
Área de superficie del dodecaedro = 20,64 × (4 2 ) = 330,24 pulgadas cuadradas.
Pregunta 6: ¿Encuentre el volumen de un octaedro con una longitud lateral de 2,1 pulgadas?
Solución:
Dado,
Longitud lateral del octaedro (a) = 2,1 pulgadas
El volumen del Octaedro = (√2/3) × a 3
Sustituyendo el valor a en la fórmula anterior,
El volumen del Octaedro = (√2/3) × (2.1) 3 = 9.261 pulgadas 3
Pregunta 7: ¿Encuentre el volumen de un tetraedro con una longitud lateral que mide 3 pulgadas?
Solución:
Dado,
La longitud del lado del Tetraedro(a) = 3 pulgadas
El volumen del Tetraedro = (1/6√2) a 3
Sustituyendo el valor a en la fórmula anterior,
El volumen del tetraedro = (1/6√2) (3) 3 = 3,181 pulgadas 3
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Artículo escrito por yaswanthighantasala9800 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA