Una cuña esférica es un sólido creado al girar un semicírculo alrededor de su diámetro con menos de 360 o . La región de una esfera bordeada por dos semicírculos que se cruzan en puntos antípodas se conoce como luna esférica. Se define como el área de la superficie curva de la cuña. El término antípoda se refiere a ese punto en la superficie de la esfera que es diametralmente opuesto a ella.
En el diagrama anterior, la región AOB es la cuña esférica y la región sombreada se denomina luna esférica. La forma de lune se asemeja a una curva y solo tiene un área de superficie curva.
Fórmula de cuña esférica y luna esférica
Una cuña esférica es comparable a una esfera y una luna esférica es similar a una superficie esférica. Las razones y proporciones se utilizan para obtener fórmulas para cuñas y lunas.
Volumen de cuña esférica
La relación entre el volumen de la cuña y el ángulo central θ es igual al volumen de la esfera por revolución. El volumen de una cuña es igual a dos tercios del producto del cubo del radio y el ángulo central (en radianes).
Volumen de la cuña/Ángulo en el centro = Volumen de la esfera/1 revolución
V/θ = 4/3 πR 3 /360 o
V = πR 3 θ grado /270
V = 2/3 R 3 θ rad
área de luna
La relación entre el área de la luna y el ángulo central θ es igual al área de la esfera por revolución. El área de lune es igual al doble del producto del cuadrado del radio y el ángulo central (en radianes).
Área de lune/Ángulo en el centro = Área de esfera/1 revolución
A/θ = 2πR 2 /360 o
A = πR 2 θ grado /90
A = 2R 2 θ rad
Problemas de muestra
Problema 1. Calcular el volumen de la cuña esférica si el radio es de 5 m y el ángulo de la cuña es π/4 radianes.
Solución:
Tenemos, r = 5 y θ = π/4
Usando la fórmula que tenemos,
V = 2/3 R 3 θ
= 2/3 (5 3 ) (π/4)
= 261,66/4
= 65,41 pies cúbicos. metro
Problema 2. Calcular el volumen de la cuña esférica si el radio es de 7 m y el ángulo de la cuña es π/3 radianes.
Solución:
Tenemos, r = 7 y θ = π/3
Usando la fórmula que tenemos,
V = 2/3 R 3 θ
= 2/3 (7 3 ) (π/3)
= 15092/63
= 79,77 pies cúbicos. metro
Problema 3. Calcula el área de la cuña esférica si el radio es de 3 m y el ángulo de la cuña es π/4 radianes.
Solución:
Tenemos, r = 7 y θ = π/3
Usando la fórmula que tenemos,
A = 2R 2 θ
= 2 (7) (7) (π/3)
= 2156/21
= 102,66 m2
Problema 4. Calcula el área de la cuña esférica si el radio es de 10 m y el ángulo de la cuña es π/4 radianes.
Solución:
Tenemos, r = 10 y θ = π/4
Usando la fórmula que tenemos,
A = 2R 2 θ
= 2 (10) (10) (π/4)
= 4400/28
= 157,14 m2
Problema 5. Encuentra el ángulo central de la luna esférica si su radio es de 6 my el área es de 220 m2.
Solución:
Tenemos, A = 220, r = 6.
Usando la fórmula que tenemos,
A = 2R 2 θ
=> 220 = 2 (6) (6) θ
=>θ = 220/72
=> θ = 3,05 radianes
Problema 6. Encuentra el ángulo central de la cuña esférica si su radio es de 7 my el volumen es de 660 m2.
Solución:
Tenemos, V = 660, r = 7.
Usando la fórmula que tenemos,
V = 2/3 R 3 θ
=> 660 = 2/3 (7) 3 θ
=> 660 = 228,66θ
=> θ = 660/228,66
=> θ = 2,88 radianes
Problema 7. Encuentra el área de la cuña esférica si su radio es de 12 my el volumen es de 1320 m2.
Solución:
Tenemos, V = 1320, r = 12.
Usando la fórmula que tenemos,
V = 2/3 R 3 θ
=> 1320 = 2/3 (12) 3 θ
=> 3960 = 3456θ
=> θ = 3960/3456
=> θ = 1,145 radianes
Ahora para encontrar el área, usamos la fórmula,
A = 2R 2 θ
A = 2 (12) (12) (1,145)
A = 329,76 m2