Una línea secante es una línea recta que conecta dos puntos en la curva de una función f(x). Una línea secante, también conocida como secante, es básicamente una línea que pasa por dos puntos en una curva. Tiende a una recta tangente cuando uno de los dos puntos se acerca al otro. Se utiliza para evaluar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto solo y solo si existe para un valor (a, f(a)).
Pendiente de la fórmula de la línea secante
La pendiente de una línea se define como la relación entre el cambio en la coordenada y y el cambio en la coordenada x. Si hay dos puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) conectados por una línea secante en una curva y = f(x), entonces la pendiente es igual a la razón de las diferencias entre las coordenadas y para la de las coordenadas x. El valor de la pendiente está representado por el símbolo m.
m = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
Si la línea secante pasa por dos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) para una función f(x), entonces la pendiente viene dada por la fórmula:
m = (f(b) – f(a))/(b – a)
Problemas de muestra
Problema 1. Calcular la pendiente de una recta secante que une los dos puntos (4, 11) y (2, 5).
Solución:
Tenemos, (x 1 , y 1 ) = (4, 11) y (x 2 , y 2 ) = (2, 5)
Usando la fórmula, tenemos
m = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (5 – 11)/(2 – 4)
= -6/(-2)
= 3
Problema 2. La pendiente de una recta secante que une los dos puntos (x, 3) y (1, 6) es 7. Halla el valor de x.
Solución:
Tenemos, (x 1 , y 1 ) = (x, 3), (x 2 , y 2 ) = (1, 6) y m = 7
Usando la fórmula, tenemos
m = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
=> 7 = (6 – 3)/(1 – x)
=> 7 = 3/(1 – x)
=> 7 – 7x = 3
=> 7x = 4
=> x = 4/7
Problema 3. La pendiente de una recta secante que une los dos puntos (5, 4) y (3, y) es 4. Halla el valor de y.
Solución:
Tenemos, (x 1 , y 1 ) = (5, 4), (x 2 , y 2 ) = (3, y) y m = 4
Usando la fórmula, tenemos
m = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
=> 4 = (y – 4)/(3 – 5)
=> 4 = (y – 4)/(-2)
=> -8 = y – 4
=> y = -4
Problema 4. Calcular la pendiente de una recta secante de la función f(x) = x 2 que une los dos puntos (3, f(3)) y (5, f(5)).
Solución:
Tenemos, f(x) = x 2
Calcular el valor de f(3) y f(5).
f(3) = 3 2 = 9
f(5) = 5 2 = 25
Usando la fórmula, tenemos
m = (f(b) – f(a))/(b – a)
= (f(5) – f(3))/ (5 – 3)
= (25 – 9)/2
= 16/2
= 8
Problema 5. Calcular la pendiente de una recta secante de la función f(x) = 4 – 3x 3 que une los dos puntos (1, f(1)) y (2, f(2)).
Solución:
Tenemos, f(x) = 4 – 3x 3
Calcular el valor de f(1) y f(2).
f(3) = 4 – 3(1) 3 = 4 – 3 = 1
f(5) = 4 – 3(2) 3 = 4 – 24 = -20
Usando la fórmula, tenemos
m = (f(b) – f(a))/(b – a)
= (f(2) – f(1))/ (2 – 1)
= -20 – 1
= -21
Problema 6. La pendiente de una recta secante que une los dos puntos (x, 7) y (9, 2) es 5. Halla el valor de x.
Solución:
Tenemos, (x 1 , y 1 ) = (x, 7), (x 2 , y 2 ) = (9, 2) y m = 5.
Usando la fórmula, tenemos
m = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
=> 5 = (2 – 7)/(9 – x)
=> 5 = -5/(9 – x)
=> 45 – 5x = -5
=> 5x = 50
=> x = 10
Problema 7. La pendiente de una recta secante que une los dos puntos (1, 5) y (8, y) es 9. Halla el valor de y.
Solución:
Tenemos, (x 1 , y 1 ) = (1, 5), (x 2 , y 2 ) = (8, y) y m = 9
Usando la fórmula, tenemos
m = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
=> 9 = (y – 5)/(8 – 1)
=> 9 = (y – 5)/7
=> y – 5 = 63
=> y = 68