Una función racional es una razón polinomial en la que el polinomio denominador no debe ser igual a cero. Es una función que es la razón polinomial. Una función racional es cualquier función de una variable, x, que se puede expresar como f(x) = p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios tales que q(x) ≠ 0. Hay tres tipos de asíntotas para una función racional, es decir, asíntotas horizontales, verticales e inclinadas.
Asíntota inclinada
Una asíntota inclinada es una línea inclinada hipotética que parece tocar una parte del gráfico. Una función racional tiene una asíntota oblicua sólo cuando el grado del numerador (a) es exactamente uno más que el grado del denominador (b). En otras palabras, la condición decisiva es a + 1 = b. Por ejemplo, existe una asíntota inclinada para la función f(x) = x + 1 ya que el grado del numerador es 1, que es uno mayor que el del denominador. La ecuación general de la asíntota oblicua de una función racional es de la forma Q = mx + c, que se llama función cociente que se produce al dividir largamente el numerador por el denominador.
Fórmula
Para una función racional f(x) de la forma g(x)/h(x), la asíntota inclinada, S(x) es de la forma:
S(x) =
El valor del cociente S(x) se calcula utilizando el método de división larga para el dividendo g(x) y el divisor h(x).
Ejemplo: Obtenga la asíntota oblicua para la función: y = (x 2 – 3x – 10)/(x – 5).
Solución:
Tenemos, f(x) = (x 2 – 3x – 10)/(x – 5).
Aquí f(x) tiene una asíntota inclinada ya que el grado del numerador es uno más que el del denominador.
Usando la fórmula de la asíntota inclinada, tenemos
Como el cociente obtenido es x + 2, la asíntota oblicua para la función dada f(x) es,
S(x) = x + 2
Problemas de muestra
Problema 1. Obtener la asíntota oblicua de la función: y = (x 2 – 2x – 24)/(x + 4).
Solución:
Tenemos, f(x) = (x 2 – 2x – 24)/(x + 4).
Aquí f(x) tiene una asíntota inclinada ya que el grado del numerador es uno más que el del denominador.
Usando la fórmula de la asíntota inclinada, tenemos
Como el cociente obtenido es x – 6, la asíntota oblicua para la función dada f(x) es,
S(x) = x – 6
Problema 2. Obtener la asíntota oblicua de la función: y = (x 2 – 2x – 8)/(x + 2).
Solución:
Tenemos, f(x) = (x 2 – 2x – 8)/(x + 2).
Aquí f(x) tiene una asíntota inclinada ya que el grado del numerador es uno más que el del denominador.
Usando la fórmula de la asíntota inclinada, tenemos
Como el cociente obtenido es x – 4, la asíntota oblicua para la función dada f(x) es,
S(x) = x – 4
Problema 3. Obtener la asíntota oblicua de la función: y = (x 2 – 7x + 10)/(x – 2).
Solución:
Tenemos, f(x) = (x 2 – 7x + 10)/(x – 2).
Aquí f(x) tiene una asíntota inclinada ya que el grado del numerador es uno más que el del denominador.
Usando la fórmula de la asíntota inclinada, tenemos
Como el cociente obtenido es x – 5, la asíntota oblicua para la función dada f(x) es,
S(x) = x – 5
Problema 4. Obtener la asíntota oblicua de la función: y = (x 2 – 3x – 28)/(x – 7).
Solución:
Tenemos, f(x) = (x 2 – 3x – 28)/(x – 7).
Aquí f(x) tiene una asíntota inclinada ya que el grado del numerador es uno más que el del denominador.
Usando la fórmula de la asíntota inclinada, tenemos
Como el cociente obtenido es x + 4, la asíntota oblicua para la función dada f(x) es,
S(x) = x + 4
Problema 5. Obtener la asíntota oblicua de la función: y = (x 2 – 3x – 18)/(x + 3).
Solución:
Tenemos, f(x) = (x 2 – 3x – 18)/(x + 3).
Aquí f(x) tiene una asíntota inclinada ya que el grado del numerador es uno más que el del denominador.
Usando la fórmula de la asíntota inclinada, tenemos
Como el cociente obtenido es x – 6, la asíntota oblicua para la función dada f(x) es,
S(x) = x – 6
